WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: 2de graads 2onbekenden

Dit is een reactie op vraag 44657

Aha. k=±(d2+34d+30)-5 met -5 buiten het haakje.

Bedankt voor de uitleg.
Klopt, ik zocht de eerste hele oplossing waarbij d=0 (30) een volgend kwadraat levert, indien we er (17+18) (18+19) etc.. bij optellen.

De vijf is de rest na het terugbrengen van 30 naar 5².
Want de vraag die ik mezelf heb gesteld: wanneer wordt 30 weer een kwadraat als we er (17+18) (18+19) etc.. bij optellen.
Als we de vijf (rest) kunnen aanvullen tot een kwadraat, en dat is het geval bij de 5e kwadratische aanvulling: (1e=17+18) (2e=17+18+18+19) etc.
de 5e=17+18+18+19+19+20+20+21+21+22
Dat levert 195+5=200 en is identiek aan 15²-5²

Ik dacht dat eenvoudig het gelijkstellen van de 2 functies, de oplossing zou geven maar dat lijkt niet zo.
Bestaat er een methode die de juiste uitkomst geeft zonder alle mogelijkheden in het domein te proberen?

Zonee, heeft u enig advies over hoe je de oplossing sneller kunt vinden, dan alleen alle mogelijkheden in het domein te proberen. De snelste methode die ik nu heb is het terugrekenen van d naar de eerstvolgende kleinere en grotere waarde die matht aan k. Als die en daartussen niet gelijk zijn aan k, dan de volgende k.

alvast hartelijk dank.

David
Iets anders - zaterdag 1 april 2006

Antwoord

Een gesloten methode bestaat er volgens mij niet, immers dan zou het probleem van het factoriseren van gehele getallen definitief zijn opgelost en zou RSA op de schroothoop kunnen.
Dit is namelijk precies wat je doet bij factorisatie met behulp van de methode van Fermat.

Je kunt je zoekmethode wel versnellen.
Immers: als je twee opeenvolgende stappen zet voeg je de som van twee opeenvolgende oneven getallen toe. De som van twee opeenvolgende oneven getallen is een viervoud.
Nu geldt voor kwadraten dat die 0 of 1 zijn modulo 4.
Nu geldt 30=2(mod 4), dus voor d=0 krijg je een 4-voud+2, maar ook voor elke even d, dus alle even d vallen af.
Bekijken we nu de rest bij deling door 3.
Kwadraten zijn 0 of 1 mod 3.
d=0:30=0 mod 3
d=1:65=2 mod 3
d=2:102=0 mod 3.

Na drie stappen krijg je hetzelfde rijtje resten terug (immers (oneven-2)+oneven+(oneven+2)=3*oneven)
Conclusie
1) d=1 mod 2
2) d=0 of d=2 mod 3
Samengenomen levert dit d=3 of d=5 (mod 6)
We hoeven nu alleen d-waarden te proberen die 3 of 5 zijn modulo 6.
Voor grotere problemen kun je nog andere getallen dan 4 of 3 eerst uitzoeken.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 2 april 2006

Re: Re: 2de graads 2onbekenden