WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kegel

Wanneer men zand vanaf een zekere hoogte laat vallen, vormt er zich een kegel waarbij de hoogte altijd gelijk is aan 4/3 van de straal van het grondvlak. Als de straal van het grondvlak 3 m is en toeneemt met een snelheid van 1/4 m/min, hoe snel vergroot dan het volume (in m³/min) van de hoop zand?

Als oplossing hadden we het volgende:
V(r)= 1/3pr²*4/3r
= (4p)/9*r³ (in m³)

Met de kettingregel:
dr/dt = 1/4 m/min op het moment dat r=3
dV/dt? op het moment r=3

Nu is
dV/dt= Dv/dr * dr/dt
dV/dr= (4p)9 * 3r² = (4/3) pr² op moment r=3: dV/dr = 4/3*p*9 =12p dV/dt= 12p*(1/4)
= 3p (in m³/min)

Van deze oplossing begrijp ik niet zo gek veel, graag een woordje uitleg?
Vicky
3de graad ASO - vrijdag 10 juni 2005

Antwoord

Beste Vicky,

Het volume van een kegel wordt gegeven door 1/3*(opp grondvlak)*h.
We kennen h echter enkel in functie van de straal, en stellen ons volume zo volledig op in functie van r = V(r) = 4pr³/9 Op het moment dat r = 3 weten we dat de straal toeneemt met een snelheid van 0.25m/min, dit is de verandering van de straal in functie van de tijd, dus dr/dt.

We zoeken echter de snelheid waarmee het volume dan toeneemt, dit is de verandering van het volume in functie van de tijd, dV/dt. Om dit te kunnen berekenen gebruiken we de kettingregel, we weten immers dat er geldt:
dV/dt = dV/dr * dr/dt

Op het moment dat r = 3 kennen we hier de 2e factor, dr/dt. Die is immers gegeven en bedraagt 1/4.

We hebben ook een uitdrukking van V opgesteld in functie van r, deze gebruiken we nu om dV/dr te berekenen:
V(r) = 4pr³/9 = dV(r)/dr = 4pr²/3

Deze verandering van volume ifv de straal willen we weten op het moment dat r = 3, ingevuld geeft dat: 12p.

Terug naar onze formule:
dV/dt = dV/dr * dr/dt = 12p * (1/4) = 3p.

Ik heb niet meer gedaan dan wat extra tekst & uitleg toevoegen, als het hiermee nog niet duidelijk is geef je best aan met welke stappen je precies moeilijkheden ondervindt.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 10 juni 2005