\require{AMSmath}

Kegel

Wanneer men zand vanaf een zekere hoogte laat vallen, vormt er zich een kegel waarbij de hoogte altijd gelijk is aan 4/3 van de straal van het grondvlak. Als de straal van het grondvlak 3 m is en toeneemt met een snelheid van 1/4 m/min, hoe snel vergroot dan het volume (in m³/min) van de hoop zand?

Als oplossing hadden we het volgende:
V(r)= 1/3pr²*4/3r
= (4p)/9*r³ (in m³)

Met de kettingregel:
dr/dt = 1/4 m/min op het moment dat r=3
dV/dt? op het moment r=3

Nu is
dV/dt= Dv/dr * dr/dt
dV/dr= (4p)9 * 3r² = (4/3) pr² op moment r=3: dV/dr = 4/3*p*9 =12p dV/dt= 12p*(1/4)
= 3p (in m³/min)

Van deze oplossing begrijp ik niet zo gek veel, graag een woordje uitleg?

Vicky
3de graad ASO - vrijdag 10 juni 2005

Antwoord

Beste Vicky,

Het volume van een kegel wordt gegeven door 1/3*(opp grondvlak)*h.
We kennen h echter enkel in functie van de straal, en stellen ons volume zo volledig op in functie van r = V(r) = 4pr³/9 Op het moment dat r = 3 weten we dat de straal toeneemt met een snelheid van 0.25m/min, dit is de verandering van de straal in functie van de tijd, dus dr/dt.

We zoeken echter de snelheid waarmee het volume dan toeneemt, dit is de verandering van het volume in functie van de tijd, dV/dt. Om dit te kunnen berekenen gebruiken we de kettingregel, we weten immers dat er geldt:
dV/dt = dV/dr * dr/dt

Op het moment dat r = 3 kennen we hier de 2e factor, dr/dt. Die is immers gegeven en bedraagt 1/4.

We hebben ook een uitdrukking van V opgesteld in functie van r, deze gebruiken we nu om dV/dr te berekenen:
V(r) = 4pr³/9 = dV(r)/dr = 4pr²/3

Deze verandering van volume ifv de straal willen we weten op het moment dat r = 3, ingevuld geeft dat: 12p.

Terug naar onze formule:
dV/dt = dV/dr * dr/dt = 12p * (1/4) = 3p.

Ik heb niet meer gedaan dan wat extra tekst & uitleg toevoegen, als het hiermee nog niet duidelijk is geef je best aan met welke stappen je precies moeilijkheden ondervindt.

mvg,
Tom

td
vrijdag 10 juni 2005

©2001-2024 WisFaq