WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lemma van Artin-Dedekind

Hallo wisfaq,

Ik heb twee vragen over het bewijs van het volgende lemma:
Laat A een abelse groep, F een lichaam, en laat s_1,s_2,...,s_n (paarsgewijs verschillend) een groepshomomorfisme van A-F*.Dan zijn s_1,s_2,...,s_n lineair onafhankelijk over F.
Bewijs
Stel s_1,s_2,...,s_n zijn lineair afhankelijk over F.Kies de kleinst mogelijk aantal getallen van coefficienten ongelijk aan 0, zeg:
(1) a_1s_1+...+a_ts_t=0, met a_1,...,a_t in K allemaal ongelijk aan 0.
t=2 want s_1 en s_2 zijn verschillend.Er bestaat een z in A met s_1(z)=s_2(z) voor iedere x in A.

(2) a_1s_1(xz)+...+a_ts_t(xz)=0, hieruit volgt,

(3) a_1s_1(z)s_1+...+a_t(z)s_t=0

vraag1.waarom en hoe volgt (3) uit (2)?

Vermenigvuldig nu (1) met s_1(z),

a_1s_1(z)s_1+...+a_ts_1(z)s_t=0

haal hier vervolgens (3) van af,

(4) a_2(s_2(z)-s_1(z))s_2+...+a_t(s_t(z)-s_1(z))s_t=0

vraag2.Ik zie niet hoe nu (4) verkregen wordt.

maar a_2(s_2(z)-s_1(z)) ongelijk 0, dus we hebben een tegenspraak.

Groeten,
Viky
viky
Student hbo - maandag 4 april 2005

Antwoord

Hoi Viky,

De structuur van het bewijs is als volgt: je veronderstelt dat s₁,..., s_n afhankelijk zijn, dus dat er een lineaire combinatie bestaat a₁s₁+...+a_ts_t=0 met alle a's nietnul, en je kiest die met t zo klein mogelijk.

Dit is wel belangrijk: het feit dat die lineaire combinatie van homomorfismen gelijk is aan nul, betekent dat voor elke x uit A:
a₁s₁(x)+...+a_ts_t(x)=0 (*)

Anderzijds zijn s₁ en s₂ niet gelijk, dus bestaat er minstens een z in A waarvoor s₁(z) ¹ s₂(z).

(*) geldt voor elk element x van A, dus ook voor het element xz, we krijgen dus:

a₁s₁(xz)+...+a_ts_t(xz)=0
en
a₁s₁(x)+...+a_ts_t(x)=0

Vermenigvuldig die onderste met s₁(z), en in de bovenste gebruiken we dat we te maken hebben met homomorfismen, dus we hebben een productregel en we krijgen:

a₁s₁(x)s₁(z)+...+a_ts_t(x)s_t(z)=0
en
a₁s₁(x)s₁(z)+...+a_ts_t(x)s₁(z)=0

Maak het verschil, groepeer de termen volgens s_i(x):
a_is_i(x)s_i(z)-a_is_i(x)s₁(z)=0
Dus a_i(s_i(z)-s₁(z))s_i(x)=0
En dit nog steeds voor elke x uit A! Met andere woorden:
a_i(s_i(z)-s₁(z))s_i=0

Of we hebben dus een lineaire combinatie van t-1 s_i's die nul geeft, en waarbij niet alle coefficienten nul zijn... Ha neen, want we hebben in het begin gezegd dat s₂(z)-s₁(z)¹0, en we hebben aangenomen dat de a_i ook niet nul waren. Conclusie: we hebben een lineaire combinatie gevonden die nul geeft, met nog minder nietnulcoefficienten dan die waarmee we begonnen waren. Dat is strijdig, want we hadden vooropgesteld te beginnen met een lincomb met zo weinig mogelijk nietnulcoefficienten. Eindconclusie: de veronderstelling dat de s_i afhankelijk zijn, klopt niet.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 april 2005