Ik heb twee vragen over het bewijs van het volgende lemma: Laat A een abelse groep, F een lichaam, en laat s_1,s_2,...,s_n (paarsgewijs verschillend) een groepshomomorfisme van A-F*.Dan zijn s_1,s_2,...,s_n lineair onafhankelijk over F. Bewijs Stel s_1,s_2,...,s_n zijn lineair afhankelijk over F.Kies de kleinst mogelijk aantal getallen van coefficienten ongelijk aan 0, zeg: (1) a_1s_1+...+a_ts_t=0, met a_1,...,a_t in K allemaal ongelijk aan 0. t=2 want s_1 en s_2 zijn verschillend.Er bestaat een z in A met s_1(z)=s_2(z) voor iedere x in A.
maar a_2(s_2(z)-s_1(z)) ongelijk 0, dus we hebben een tegenspraak.
Groeten, Viky
viky
Student hbo - maandag 4 april 2005
Antwoord
Hoi Viky,
De structuur van het bewijs is als volgt: je veronderstelt dat s1,..., sn afhankelijk zijn, dus dat er een lineaire combinatie bestaat a1s1+...+atst=0 met alle a's nietnul, en je kiest die met t zo klein mogelijk.
Dit is wel belangrijk: het feit dat die lineaire combinatie van homomorfismen gelijk is aan nul, betekent dat voor elke x uit A: a1s1(x)+...+atst(x)=0 (*)
Anderzijds zijn s1 en s2 niet gelijk, dus bestaat er minstens een z in A waarvoor s1(z) ¹ s2(z).
(*) geldt voor elk element x van A, dus ook voor het element xz, we krijgen dus:
a1s1(xz)+...+atst(xz)=0 en a1s1(x)+...+atst(x)=0
Vermenigvuldig die onderste met s1(z), en in de bovenste gebruiken we dat we te maken hebben met homomorfismen, dus we hebben een productregel en we krijgen:
a1s1(x)s1(z)+...+atst(x)st(z)=0 en a1s1(x)s1(z)+...+atst(x)s1(z)=0
Maak het verschil, groepeer de termen volgens si(x): aisi(x)si(z)-aisi(x)s1(z)=0 Dus ai(si(z)-s1(z))si(x)=0 En dit nog steeds voor elke x uit A! Met andere woorden: ai(si(z)-s1(z))si=0
Of we hebben dus een lineaire combinatie van t-1 si's die nul geeft, en waarbij niet alle coefficienten nul zijn... Ha neen, want we hebben in het begin gezegd dat s2(z)-s1(z)¹0, en we hebben aangenomen dat de ai ook niet nul waren. Conclusie: we hebben een lineaire combinatie gevonden die nul geeft, met nog minder nietnulcoefficienten dan die waarmee we begonnen waren. Dat is strijdig, want we hadden vooropgesteld te beginnen met een lincomb met zo weinig mogelijk nietnulcoefficienten. Eindconclusie: de veronderstelling dat de si afhankelijk zijn, klopt niet.
F*.Dan zijn s_1,s_2,...,s_n lineair onafhankelijk over F. 