WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Goniometrisch stelsel

Dit is een reactie op vraag 36232

Bedankt voor de hulp, maar er loopt een en ander mis. Uit het voorschrift kan je door meetkundige interpretatie afleiden dat je iets astroïde-achtig moet bekomen. Als ik de vglk uitwerk zoal u het voorstelt en ik plot die impliciete functie bekom ik een kromme die zeker geen astroïde kan zijn:

A := matrix([[1/sin(a), 1/cos(a)], [sin(a)/cos(a)^2, -cos(a)/sin(a)^2]]);

met

z:=matrix(2,1,[x,y]); t:=matrix(2,1,[1,0]);

Dan

A^(-1)*t=matrix([[cos(a)^4*sin(a)/(cos(a)^4+sin(a)^4)], [sin(a)^4*cos(a)/(cos(a)^4+sin(a)^4)]]);

Oplossen geeft selchts 1 reële opl:

sin(a) = (x/y*(x*y^2)^(1/3)+y)*y/(x*y^2)^(1/3),
cos(a) = x/y*(x*y^2)^(1/3)+y

Na vereenvoudiging geeft dat:

sin(a)=x+1/x^(1/3)*y^(4/3)
cos(a)=1/y^(1/3)*x^(4/3)+y

Kwadrateren, optellen en vereenvoudigen geeft:

x^2+2*x^(2/3)*y^(4/3)+1/x^(2/3)*y^(8/3)+x^(8/3)/y^(2/3)+2*x^(4/3)*y^(2/3)+y^2 = 1

Niet bepaald de cart vglk van een astroïde, de plot bevestigd dit. Waar liep het fout?

Alvast bedankt
Lucien
Student universiteit België - maandag 4 april 2005

Antwoord

Lucien,
De oplossing is x=cos³a en y=sin³a.Dit kan ook als volgt gevonden worden.Uit xsin³a-ycos³a=0 volgt dat
x=ycos³a/sin³a.Invullen in de eerste vgl. geeft
y(cos²a/sin³a +1/sina)=y(1/sin³a)=1, dus y=sin³a.
Uit de oplossing volgt dus dat x^2/3 +y^2/3=1.Wat is hier mis mee.
De matrix A waar je mee begint deugt niet.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 april 2005