\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 36232

Re: Goniometrisch stelsel

Bedankt voor de hulp, maar er loopt een en ander mis. Uit het voorschrift kan je door meetkundige interpretatie afleiden dat je iets astroïde-achtig moet bekomen. Als ik de vglk uitwerk zoal u het voorstelt en ik plot die impliciete functie bekom ik een kromme die zeker geen astroïde kan zijn:

A := matrix([[1/sin(a), 1/cos(a)], [sin(a)/cos(a)^2, -cos(a)/sin(a)^2]]);

met

z:=matrix(2,1,[x,y]); t:=matrix(2,1,[1,0]);

Dan

A^(-1)*t=matrix([[cos(a)^4*sin(a)/(cos(a)^4+sin(a)^4)], [sin(a)^4*cos(a)/(cos(a)^4+sin(a)^4)]]);

Oplossen geeft selchts 1 reële opl:

sin(a) = (x/y*(x*y^2)^(1/3)+y)*y/(x*y^2)^(1/3),
cos(a) = x/y*(x*y^2)^(1/3)+y

Na vereenvoudiging geeft dat:

sin(a)=x+1/x^(1/3)*y^(4/3)
cos(a)=1/y^(1/3)*x^(4/3)+y

Kwadrateren, optellen en vereenvoudigen geeft:

x^2+2*x^(2/3)*y^(4/3)+1/x^(2/3)*y^(8/3)+x^(8/3)/y^(2/3)+2*x^(4/3)*y^(2/3)+y^2 = 1

Niet bepaald de cart vglk van een astroïde, de plot bevestigd dit. Waar liep het fout?

Alvast bedankt

Lucien
Student universiteit België - maandag 4 april 2005

Antwoord

Lucien,
De oplossing is x=cos³a en y=sin³a.Dit kan ook als volgt gevonden worden.Uit xsin³a-ycos³a=0 volgt dat
x=ycos³a/sin³a.Invullen in de eerste vgl. geeft
y(cos²a/sin³a +1/sina)=y(1/sin³a)=1, dus y=sin³a.
Uit de oplossing volgt dus dat x^2/3 +y^2/3=1.Wat is hier mis mee.
De matrix A waar je mee begint deugt niet.

kn
maandag 4 april 2005

©2001-2024 WisFaq