WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Normale uitbreiding

Hallo wisfaq,

Laat K bevat in L bevat in M een toren van eindige uitbreidingen:
1.Ik wil graag een tegenvoorbeeld geven voor de volgende uitspraak:Als K bevat in L en L bevat in M normaal, dan ook K bevat in M normaal.
Tegenvoorbeeld:Ste K=Q (rationale getallen), L=Q(sqrt2) en M=Q([srt2]^(1/4)).K bevat in L en L bevat in M zijn beide kwadratische uitbr'n dus zijn ze normaal.
Vraag:Wat is de graad [M:L]?Het moet 2 of 3 zijn maar ik weet niet hoe ik dit moet aantonen.
En dan nu K bevat in M,
Ik weet dat x^4-2=(x+[sqrt2]^(1/4))(x-[sqrt2]^(1/4))(x+[sqrt2i]^(1/4))(x-[sqrt2i]^(1/4)), maar wat kan nu ik nu hieruit concluderen?

Groeten,
Viky

viky
Student hbo - donderdag 24 maart 2005

Antwoord

Hi Viky,

Die oefening 24 zegt dat zowel de uitbreiding K Ì L als LÌ M allebei normaal zijn. Goed, je kiest dan twee kwadratische uitbreidingen, die zijn zeker normaal. Alleen denk ik dat je het verkeerd genoteerd hebt: bedoel je niet 2^(1/4) ipv (sqrt2)^(1/4)?

Wat is de graad [M:L]? Je zegt zelf dat het een kwadratische uitbreiding is, dus is de graad toch twee? En hoe je dit aantoont: tja, M = (2^(1/4)) = (2^(1/4),Ö2) = ((Ö2))(2^(1/4)) = L(2^(1/4)) = L(ÖÖ2). Dus M ontstaat uit L door aan L de wortel van een element van L toe te voegen, dit is dus overduidelijk een kwadratische uitbreiding.

Je wil nu aantonen dat de uitbreiding K Ì M niet normaal is, met andere woorden (def 23.12) dat er een element a in M bestaat wiens minimaalpolynoom over K NIET te ontbinden is in lineaire factoren over M. Lees voorgaande zin nog maar eens .

Je kijkt naar het element a=2^1/4.
De minimaalpolynoom van a over K is duidelijk X⁴-2=0. Deze is over UNIEK te ontbinden, namelijk door ongeveer de ontbinding die jij geeft:
(X-a)(X+a)(X-ai)(X+ai)
Dit is echter geen ontbindig over M, want het getal i zit helemaal niet in M. Een andere ontbinding (één die wel in M zit bijvoorbeeld) kan er niet bestaan, want dan zouden er twee verschillende ontbindingen over bestaan, in strijd met de hoofdstelling van de algebra.

Conclusie: de minimaalpolynoom van a is niet te ontbinden in lineaire factoren over M, dus de uitbreiding K Ì M is niet normaal.

NB de verste ontbinding van die minimaalpolynoom is:
(X-a)(X+a)(X²-Ö2)

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 29 maart 2005

Re: Normale uitbreiding