Laat K bevat in L bevat in M een toren van eindige uitbreidingen: 1.Ik wil graag een tegenvoorbeeld geven voor de volgende uitspraak:Als K bevat in L en L bevat in M normaal, dan ook K bevat in M normaal. Tegenvoorbeeld:Ste K=Q (rationale getallen), L=Q(sqrt2) en M=Q([srt2]^(1/4)).K bevat in L en L bevat in M zijn beide kwadratische uitbr'n dus zijn ze normaal. Vraag:Wat is de graad [M:L]?Het moet 2 of 3 zijn maar ik weet niet hoe ik dit moet aantonen. En dan nu K bevat in M, Ik weet dat x^4-2=(x+[sqrt2]^(1/4))(x-[sqrt2]^(1/4))(x+[sqrt2i]^(1/4))(x-[sqrt2i]^(1/4)), maar wat kan nu ik nu hieruit concluderen?
Groeten, Viky
viky
Student hbo - donderdag 24 maart 2005
Antwoord
Hi Viky,
Die oefening 24 zegt dat zowel de uitbreiding K Ì L als LÌ M allebei normaal zijn. Goed, je kiest dan twee kwadratische uitbreidingen, die zijn zeker normaal. Alleen denk ik dat je het verkeerd genoteerd hebt: bedoel je niet 2^(1/4) ipv (sqrt2)^(1/4)?
Wat is de graad [M:L]? Je zegt zelf dat het een kwadratische uitbreiding is, dus is de graad toch twee? En hoe je dit aantoont: tja, M = (2^(1/4)) = (2^(1/4),Ö2) = ((Ö2))(2^(1/4)) = L(2^(1/4)) = L(ÖÖ2). Dus M ontstaat uit L door aan L de wortel van een element van L toe te voegen, dit is dus overduidelijk een kwadratische uitbreiding.
Je wil nu aantonen dat de uitbreiding K Ì M niet normaal is, met andere woorden (def 23.12) dat er een element a in M bestaat wiens minimaalpolynoom over K NIET te ontbinden is in lineaire factoren over M. Lees voorgaande zin nog maar eens .
Je kijkt naar het element a=21/4. De minimaalpolynoom van a over K is duidelijk X4-2=0. Deze is over UNIEK te ontbinden, namelijk door ongeveer de ontbinding die jij geeft: (X-a)(X+a)(X-ai)(X+ai) Dit is echter geen ontbindig over M, want het getal i zit helemaal niet in M. Een andere ontbinding (één die wel in M zit bijvoorbeeld) kan er niet bestaan, want dan zouden er twee verschillende ontbindingen over bestaan, in strijd met de hoofdstelling van de algebra.
Conclusie: de minimaalpolynoom van a is niet te ontbinden in lineaire factoren over M, dus de uitbreiding K Ì M is niet normaal.
NB de verste ontbinding van die minimaalpolynoom is: (X-a)(X+a)(X2-Ö2)
(2^(1/4)) = 
.
UNIEK te ontbinden, namelijk door ongeveer de ontbinding die jij geeft:
Re: Normale uitbreiding 