|
|
|
\require{AMSmath}
Berekenen van een bepaalde integraal (substitutie)
Bij het berekenen van een bepaalde integraal loopt bij mij steeds iets fout. Ik bekom -om de één of andere reden- telkens een foutief antwoord... Kan iemand me helpen zodat ik niet steeds dezelfde (?) fouten blijf herhalen?
bv:
(1)
[0,1]ò2x2(x3-1)3dx
Ik deed het volgende: de grens wordt: [-1,0] dan neem ik de primitieve in de grnas [0,-1] (x3-1)^4/12 = (1/12)-(4/3) = -5/4
Het juiste antwoord moet -1/6
(2)
[1,2] ò(x+1)(x2+2x-5)3dx
Hierbij deed ik het volgende: de grens wordt: [-2,3]
Ik nam opnieuw de primitieve functie en vulde er [-2,3] in:
[3,-2] [(1/8)(x2+2x-5)^4] = ((1/8)(32+6-5)^4) - ((1/8)(4-5-5)^4) = 1250- 625/8 = 9375/8
Foutief dus... De juiste oplossing is: 65/8
Kan iemand me hierbij helpen aub?
Dank bij voorbaat!
Vele groetjes
Veerle
3de graad ASO - dinsdag 8 februari 2005
Antwoord
Hallo Veerle,
Bij (1) loopt het fout bij het invullen van de grenzen. Kijk, je hebt een integraal waarbij x loopt van 0 tot 1. Dan doe je een substitutie u=x3-1. De grenzen worden dan inderdaad -1 en 0, maw: u=x3-1 loopt van -1 tot 0.
De integraal wordt dan (x3-1)4/6 (je was immers die factor 2 vergeten.), of dus u4/6.
En hierin moet je dan je grenzen invullen, maar dan wel de juiste! Dus ofwel vul je x = 0 en 1 in in (x3-1)4/6, dat geeft dan (13-1)4/6 - (03-1)4/6.
Ofwel vul je je 'vertaalde' grenzen -1 en 0 voor u in in u4/6: dat wordt dan 04/6 - (-1)4/6.
En allebei geven ze inderdaad -1/6.
Bij (2) heb je blijkbaar de substitutie u = x2+2x-5 gedaan, de grenzen zijn dan inderdaad correct, en de integraal wordt
1/2 ò(x2+2x-5)3d(x2+2x-5)
= 1/8 (x2+2x-5)4 dat klopt.
En nu heb je weer dezelfde fout gemaakt: ofwel vul je x=1 en x=2 in in deze uitdrukking, ofwel vul je u=-2 en u=3 in in de uitdrukking 1/8 u4.
Het eerste geeft je 1/8 (22+2*2-5)4 - 1/8 (12+2*1-5)4 = 81/8 - 16/8 = 65/8
Het tweede geeft je 1/8 34 - 1/8 (-2)4 = 1/8(81-16) = 65/8
Samengevat: let altijd goed op dat je je grenzen juist invult. Het kan eventueel helpen om ipv gewoon getalletjes onder en boven het integraalteken te zetten, er x=... bij te zetten:
Niet ò12(x+1)(x2+2x-5)3dx
Maar wel òx=1x=2(x+1)(x2+2x-5)3dx
En dan na substitutie: 1/2 òu=-2u=3u3du
Duidelijk zo?
Groeten,
Christophe.
Christophe
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 8 februari 2005
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
Re: Berekenen van een bepaalde integraal (substitutie)