\require{AMSmath}

Berekenen van een bepaalde integraal (substitutie)

Bij het berekenen van een bepaalde integraal loopt bij mij steeds iets fout. Ik bekom -om de één of andere reden- telkens een foutief antwoord... Kan iemand me helpen zodat ik niet steeds dezelfde (?) fouten blijf herhalen?

bv:
(1)
[0,1]ò2x²(x³-1)³dx
Ik deed het volgende: de grens wordt: [-1,0] dan neem ik de primitieve in de grnas [0,-1] (x³-1)^4/12 = (1/12)-(4/3) = -5/4
Het juiste antwoord moet -1/6


(2)
[1,2] ò(x+1)(x²+2x-5)³dx
Hierbij deed ik het volgende: de grens wordt: [-2,3]
Ik nam opnieuw de primitieve functie en vulde er [-2,3] in:
[3,-2] [(1/8)(x²+2x-5)^4] = ((1/8)(3²+6-5)^4) - ((1/8)(4-5-5)^4) = 1250- 625/8 = 9375/8
Foutief dus... De juiste oplossing is: 65/8

Kan iemand me hierbij helpen aub?

Dank bij voorbaat!

Vele groetjes

Veerle
3de graad ASO - dinsdag 8 februari 2005

Antwoord

Hallo Veerle,

Bij (1) loopt het fout bij het invullen van de grenzen. Kijk, je hebt een integraal waarbij x loopt van 0 tot 1. Dan doe je een substitutie u=x³-1. De grenzen worden dan inderdaad -1 en 0, maw: u=x³-1 loopt van -1 tot 0.

De integraal wordt dan (x³-1)⁴/6 (je was immers die factor 2 vergeten.), of dus u⁴/6.
En hierin moet je dan je grenzen invullen, maar dan wel de juiste! Dus ofwel vul je x = 0 en 1 in in (x³-1)⁴/6, dat geeft dan (1³-1)⁴/6 - (0³-1)⁴/6.
Ofwel vul je je 'vertaalde' grenzen -1 en 0 voor u in in u⁴/6: dat wordt dan 0⁴/6 - (-1)⁴/6.

En allebei geven ze inderdaad -1/6.

Bij (2) heb je blijkbaar de substitutie u = x²+2x-5 gedaan, de grenzen zijn dan inderdaad correct, en de integraal wordt
1/2 ò(x²+2x-5)³d(x²+2x-5)
= 1/8 (x²+2x-5)⁴ dat klopt.
En nu heb je weer dezelfde fout gemaakt: ofwel vul je x=1 en x=2 in in deze uitdrukking, ofwel vul je u=-2 en u=3 in in de uitdrukking 1/8 u⁴.
Het eerste geeft je 1/8 (2²+2*2-5)⁴ - 1/8 (1²+2*1-5)⁴ = 81/8 - 16/8 = 65/8
Het tweede geeft je 1/8 3⁴ - 1/8 (-2)⁴ = 1/8(81-16) = 65/8

Samengevat: let altijd goed op dat je je grenzen juist invult. Het kan eventueel helpen om ipv gewoon getalletjes onder en boven het integraalteken te zetten, er x=... bij te zetten:
Niet ò₁²(x+1)(x²+2x-5)³dx
Maar wel ò_x=1^x=2(x+1)(x²+2x-5)³dx
En dan na substitutie: 1/2 ò_u=-2^u=3u³du

Duidelijk zo?

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 8 februari 2005

Re: Berekenen van een bepaalde integraal (substitutie)

©2001-2024 WisFaq