WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Minimumpolynoom

Hallo wisfaq,

Zij K=Q(a) een quotiëntenlichaam (Q zijn de rationale getallen) en f=(x^3)+2(x^2)+1 het minimumpolynoom van a over Q.
Ik wil graag het min polyn bepalen van a^2 over Q.Ik weet hoe je in het algemeen een min polyn bepaalt als a gegeven is en een basis, maar in dit geval begrijp ik niet wat ik moet doen.

Groeten,
Viky
viky
Student hbo - maandag 7 februari 2005

Antwoord

Viky,

Laten we eens graad per graad proberen een minpol op te stellen: laag beginnen, en als het niet lukt een beetje hoger proberen. Graad 1 kan de minpol van a² niet hebben want dan zou a² voldoen aan f=x+b, dus a²=-b wat dus strijdig is met het feit dat a een minimaalpolynoom van graad 3 heeft...

Graad 2 kan ook niet: dan zou je immers (a²)² = a⁴ moeten kunnen schrijven als ba² + c
a⁴ = aa³
= a(-2a²-1)
= -2a³-a
= -2(-2a²-1)-a
= 4a²-a+2
Dit is enkel van de vorm ba²+c als je die -a zou kunnen vervangen door een combinatie van 1 en a², bijvoorbeeld -a=da²+e. Maar dan voldoet a weer aan een vergelijking van graad 2, weerom strijdig met het feit dat de minpol van a graad 3 heeft.

We moeten dus op zoek naar iets van graad 3, dus een uitdrukking voor a⁶ als lineaire combinatie van 1, a² en a⁴. Laten we eens proberen he.
a⁶ = (a³)² = (-2a²-1)² = 4a⁴+4a²+1
Dat ging vlug, en je ziet ook dat je hier een algemene methode krijgt: als a een minpol van graad n heeft, en je zoekt de minpol van a^m, schrijf dan
aⁿ = a₀ + ... + a_n-1a^n-1
Doe dit alles tot de m-de macht:
a^mn = a₀^m + ... + a_n-1^ma^m(n-1) (plus nog een boel kruisproducten)

Je krijgt dan wel een hele hoop termen, maar allemaal de exponenten van a zullen m-vouden zijn, gaande van 0 tot n-1. En dus heb je een polynoom van graad n gevonden waaraan a^m voldoet. Dan moet je alleen nog eens nagaan of a^m niet aan lageregraadsvergelijkingen voldoet, zoals ik in het begin van deze vraag gedaan heb... Maar daarvoor kan je wel steunen op een aantal eigenschappen: ik dacht dat de graad van de minpol van a altijd een deler was van de graad van de minpol van b wanneer a in (b) zit (maar ik ben er niet zo heel zeker meer van en het doet hier eigenlijk ook niet terzake)

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 8 februari 2005