WisFaq!

Minimumpolynoom

Hallo wisfaq,

Zij K=Q(a) een quotiëntenlichaam (Q zijn de rationale getallen) en f=(x^3)+2(x^2)+1 het minimumpolynoom van a over Q.
Ik wil graag het min polyn bepalen van a^2 over Q.Ik weet hoe je in het algemeen een min polyn bepaalt als a gegeven is en een basis, maar in dit geval begrijp ik niet wat ik moet doen.

Groeten,
Viky

viky
7-2-2005

Antwoord

Viky,

Laten we eens graad per graad proberen een minpol op te stellen: laag beginnen, en als het niet lukt een beetje hoger proberen. Graad 1 kan de minpol van a² niet hebben want dan zou a² voldoen aan f=x+b, dus a²=-b wat dus strijdig is met het feit dat a een minimaalpolynoom van graad 3 heeft...

Graad 2 kan ook niet: dan zou je immers (a²)² = a⁴ moeten kunnen schrijven als ba² + c
a⁴ = aa³
= a(-2a²-1)
= -2a³-a
= -2(-2a²-1)-a
= 4a²-a+2
Dit is enkel van de vorm ba²+c als je die -a zou kunnen vervangen door een combinatie van 1 en a², bijvoorbeeld -a=da²+e. Maar dan voldoet a weer aan een vergelijking van graad 2, weerom strijdig met het feit dat de minpol van a graad 3 heeft.

We moeten dus op zoek naar iets van graad 3, dus een uitdrukking voor a⁶ als lineaire combinatie van 1, a² en a⁴. Laten we eens proberen he.
a⁶ = (a³)² = (-2a²-1)² = 4a⁴+4a²+1
Dat ging vlug, en je ziet ook dat je hier een algemene methode krijgt: als a een minpol van graad n heeft, en je zoekt de minpol van a^m, schrijf dan
aⁿ = a₀ + ... + a_n-1a^n-1
Doe dit alles tot de m-de macht:
a^mn = a₀^m + ... + a_n-1^ma^m(n-1) (plus nog een boel kruisproducten)

Je krijgt dan wel een hele hoop termen, maar allemaal de exponenten van a zullen m-vouden zijn, gaande van 0 tot n-1. En dus heb je een polynoom van graad n gevonden waaraan a^m voldoet. Dan moet je alleen nog eens nagaan of a^m niet aan lageregraadsvergelijkingen voldoet, zoals ik in het begin van deze vraag gedaan heb... Maar daarvoor kan je wel steunen op een aantal eigenschappen: ik dacht dat de graad van de minpol van a altijd een deler was van de graad van de minpol van b wanneer a in (b) zit (maar ik ben er niet zo heel zeker meer van en het doet hier eigenlijk ook niet terzake)

Groeten,
Christophe.

Christophe
8-2-2005