WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Bewijzen (buitenbissectrice)

Dit is een reactie op vraag 33266

teken de driehoek zoals in het antwoord PQR
Plaats K en teken een evenwijdige lijn aan QR . het snijpunt met PQ heet nu M
Verder is er een lijnstuk RM
Het lijnstuk PR wordt langer boven R uit.
Lengte PR is b
lengte KR is a
lengte RM is ade direhoek RKM zijn zijn M en K even grote hoeken
Hoek R buiten de driehoek en hoek MRQ zijn even groot
(hierdoor dus even groot als hoek RMK en hoek MKR)
het vraagstuk stelt dat door de evenwijdigheid van KM en RQ gesteld kan worden dat QP:QM=RP:RK
In de tekst hieraan voorafgaand wordt er gesproken over een buitenbissectrice en deellijnen. Kunt u mij de redelijkheid van deze verhouding uitleggen Ik moet dit kunnen bewijzen.
Alvast mijn hartelijke dank.
Ps. Hoe kan ik mijn tekeningen invoeren in dit tekst stukje? dat maakt het vragen zoveel eenvoudiger en ik denk uw lezen ervan ook.
vriendelijke groeten harmke

Harmke
Student hbo - donderdag 27 januari 2005

Antwoord

Eerst je PS.
Je hebt uitstekend het probleem omschreven, en dat maakt oploaden van een tekening dus niet nodig.

Ik heb je constructievoorschriften echter niet gevolgd, gezien je vraagstelling.
Er is een stelling over de buitenbissctrice van een driehoek die luidt:

Een buitenbissectrice van een hoek van een driehoek deelt de overstaande zijde uitwendig in stukken die zich verhouden als de (lengtes van de) opstaande zijden.

In formule (kijkend naar driehoek PMR): QM : QP = a : b.

Wel die stelling moet (natuurlijk) bewezen worden. Je hebt al een deel van het bewijs gevonden (gezien je beschrijving), maar ik doe het hieronder gewoon opnieuw (en anders?).
De tekening hierboven is als volgt opgebouwd:
- teken allereerst een willekeurige driehoek PMR, waarvan we weten dat RM = a en RP = b;
- teken de bissectrice van de buitenhoek bij R;
- die bissectrice snijdt de lijn PM in Q (zie het lijnstuk RQ);
- teken dan MK evenwijdig met RQ.

Uit de nu getekende figuur (zie ook de x-jes en de y) volgt het een en ander.
- In driehoek RKM is ÐK = x (waarom?).
- Dan geldt dus ook RK = RM (waarom?), zodat ook RK = a.
- Doordat KM // RQ geldt (zie je vorige vraag) QM : QP = RK : RP
zodat (invullen...) QM : QP = a : b.

En hier staat weer in formule wat in de stelling hierboven in woorden staat...
Stelling bewezen!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 27 januari 2005