WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs

Hey, ik moet voor school enkele oefeningen oplossen als remediëringstaak maar ik kan een bepaalde oefening niet bewijzen:
Bewijs dat voor de maatgetallen A, B en C van de hoeken van een driehoek geldt: ainA + sinB + sinC = 4.cos A/2 . cos B/2 . cos C/2

Ik heb het al proberen bewijzen door de formule van Simpson en de halveringsformule oe te passen:
2sin (A+B)/2 . cos (A-B)/2 + 2sin C/2 . cos C/2
Maar hoe moet het verder?

Ook heb ik dit geprobeerd:
sin(A+B+C) =0
= sinA.cos(B+C) + cosA.sin(B+C) = 0
= sinA(cosB.cosC - sinB.sinC) + cosA(sinB.cosC + cosB.sinC) = 0

= sinA.cosB.cosC - sinA.sinB.sinC + cosA.sinB.cosC + cosA.cosB.sinC

En daar zat ik ook vast.
Zouden jullie mij aub zo rap mogelijk kunnen helpen?
Alvast bedankt ;)
Jana
Jana
3de graad ASO - zondag 9 januari 2005

Antwoord

In Bewijs gelijkheid in een driehoek heb je gezien dat in een driehoek geldt A+B+C=180°.
Je kunt dan bijvoorbeeld sin(C) schrijven als sin(180-(A+B)=sin(A+B).
Het linkerlid wordt dan:
sin(A)+sin(B)+sin(A+B).
In het rechterlid kun je cos(C/2) schrijven als cos(¹/₂(180-A+B))=cos(90-¹/₂(A+B))=sin(¹/₂(A+B))
Het rechterlid wordt dan
4cos(¹/₂A)cos(¹/₂B)sin(¹/₂A+¹/₂B)=
4cos(¹/₂A)cos(¹/₂B)(sin(¹/₂A)cos(¹/₂B)+cos(¹/₂A)sin¹/₂(B))=
4sin(¹/₂A)cos¹/₂(A)cos²(¹/₂B)+4sin(¹/₂B)cos(¹/₂B)cos²(¹/₂A)

Nu zou je het toch verder zelf moeten kunnen hoop ik.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 9 januari 2005