|
|
|
\require{AMSmath}
Goniometrische vergelijking
(sin x)^4+(cos x)^4 = sin x + cos x (WPP 5.1 blz 254 13.3)
De juiste oplossingen zijn k*2*p en p/2 +k*2*p Ik vind de oplossingsweg echter niet.
Filip
3de graad ASO - woensdag 5 januari 2005
Antwoord
Als je bij beide leden 2 sin(x)2 cos(x)2 optelt, dan staat er links een merkwaardig product,
nl: (sin x)^4+ 2 sin(x)2 cos(x)2 +(cos x)^4 en dat is gelijk aan (sin(x)2+cos(x)2)2 = 1
Dus in het linker lid staat 1, en in het rechterlid staat nog sin(x) + cos(x) + 2 sin(x)2 cos(x)2 De vergelijking is dus omgevormd tot:
1 = sin(x) + cos(x) + 2 sin(x)2 cos(x)2
Nu kan je gebruiken dat de sinus nul wordt op de plaatsen waar de cosinus 1 (of -1) wordt en omgekeerd. Het pruduct 2 sin(x)2 cos(x)2 valt dan steeds weg omdat 1 van de factoren nul is.
Sinus wordt nul op de veelvouden van p, maar bij de oneven veelvouden van p wordt de cosinus -1, en dat willen we niet. Dus mogen we alleen de even veelvouden van p beschouwen. Dus de vergelijking is geldig voor x=2kp
Cosinus wordt nul op de oneven veelvouden van p/2, dus bij (2k+1)p/2 = p/2 + kp , maar sinus slechts 1 bij p/2 + 2kp, bij p/2 + (2k+)p is sinus -1 en dat willen we niet. Dus enkel x=p/2 + 2kp is een oplossing.
We hebben dus twee rijen oplossingen. Namelijk:
x=2kp (k in  ) ( hier is sinus 0 en cosinus 1)
en
x=p/2 + 2kp (k in ) (hier is cosinus 0 en sinus 1)
Koen
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 6 januari 2005
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
Re: Goniometrische vergelijking