WisFaq!

Goniometrische vergelijking

(sin x)^4+(cos x)^4 = sin x + cos x (WPP 5.1 blz 254 13.3)

De juiste oplossingen zijn k*2*p en p/2 +k*2*p Ik vind de oplossingsweg echter niet.

Filip Baasten
5-1-2005

Antwoord

Als je bij beide leden 2 sin(x)² cos(x)² optelt, dan staat er links een merkwaardig product,
nl: (sin x)^4+ 2 sin(x)² cos(x)² +(cos x)^4 en dat is gelijk aan (sin(x)²+cos(x)²)² = 1

Dus in het linker lid staat 1, en in het rechterlid staat nog sin(x) + cos(x) + 2 sin(x)² cos(x)² De vergelijking is dus omgevormd tot:

1 = sin(x) + cos(x) + 2 sin(x)² cos(x)²



Nu kan je gebruiken dat de sinus nul wordt op de plaatsen waar de cosinus 1 (of -1) wordt en omgekeerd. Het pruduct 2 sin(x)² cos(x)² valt dan steeds weg omdat 1 van de factoren nul is.

Sinus wordt nul op de veelvouden van p, maar bij de oneven veelvouden van p wordt de cosinus -1, en dat willen we niet. Dus mogen we alleen de even veelvouden van p beschouwen. Dus de vergelijking is geldig voor x=2kp
Cosinus wordt nul op de oneven veelvouden van p/2, dus bij (2k+1)p/2 = p/2 + kp , maar sinus slechts 1 bij p/2 + 2kp, bij p/2 + (2k+)p is sinus -1 en dat willen we niet. Dus enkel x=p/2 + 2kp is een oplossing.

We hebben dus twee rijen oplossingen. Namelijk:

x=2kp (k in ) ( hier is sinus 0 en cosinus 1)

en

x=p/2 + 2kp (k in ) (hier is cosinus 0 en sinus 1)

Koen

km
6-1-2005