|
|
|
\require{AMSmath}
Logaritmes bepalen met een huishoudrekenmachientje
Ik heb van een kennis ooit geleerd hoe je de logaritme van een getal kunt benaderen met een simpel rekenmachientje met een Ö-functie. Waarom het zo werkt kan ik echter niet beredeneren.
Toets het getal in waarvan je de logaritme wilt nemen.
Druk 11 keer op de Ö-toets.
Trek van dit antwoord 1 af.
Vermenigvuldig het antwoord met 889.
Het resultaat is de logaritme van het oorspr. getal.
Weet iemand hoe dit rekenkundig werkt?
((ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ(x))-1)*889 = Log(x)
Henk P
Iets anders - dinsdag 26 oktober 2004
Antwoord
Even proberen:
We nemen x=10
Elf keer de wortel nemen: 1,001124941
Hier 1 vanaftrekken: 0,001124941
Nu met 889 vermenigvuldigen: 1,0000729.
Nu geldt log(10)=10log(10)=1.
Nog eentje: we nemen x=2
We krijgen (1,000338508-1)*889=0,30093366
log(2)=0,3010299957.
Het gaat hier dus niet om iets dat exact klopt maar om een benaderingsmethode.
Eerst maar eens dat 11 keer worteltrekken:
Ö(x)=x1/2
Ö(Ö(x))=(x1/2)1/2=x1/4.
Hier weer de wortel van is (x1/4)1/2=x^(1/8).
Je kunt narekenen dat elf keer de wortel nemen, overeenkomt met verheffen tot de macht 1/2048.
We hebben links dus staan (x^1/2048-1)*889.
Verder willen we een benadering voor log(x) zoeken.
Dus b=log(x). We zoeken dus het getal b zo, dat 10b=x.
Laten we nu eens gaan kijken hoe 10h zich gedraagt als h dicht bij 0 ligt.
100.1=1,258925
100.01=1,023293
100.001=1,002305
100.0001=1,000230285
Het lijkt erop dat bij benadering geldt:
als h dicht bij nul dan is 10h=1+2,303h.
Wat hebben we hier nu aan?
Wel, we wilden x^1/2048 berekenen.
We schrijven nu:
x=10^(log(x) (een regel bij logaritmen)
dus
x^(1/2048)=(10^log(x))^(1/2048)=
10^(log(x)/2048).
Nu zijn logaritmen in het algemeen niet zo groot, en delen door 2048 levert dus exponenten die dicht bij nul liggen.
We schrijven dus x^1/2048=10^(log(x)/2048) 1+2,303*log(x)/2048=
Dus 2,303*log(x)/2048=x^1/2048-1.
Dus log(x)=2048/2,303*(x^1/2048-1)=889*(x^1/2048-1).
Meer fundamenteel:
Omdat ex=1+x+1/2x2+1/6x3+... een machtreeksontwikkeling is van ex geldt als x dicht bij nul ligt dat we ex kunnen benaderen door ex1+x.
We gaan weer de volgende berekening doen:
x^(1/2048)-1=
(e^(ln(x))^(1/2048)-1=
e^(ln(x)/2048)-11+ln(x)/2048-1=ln(x)/2048.
Dus ln(x)(x^(1/2048)-1)*2048
Nu weten we dat log(x)=ln(x)/ln(10)
Dus log(x)(x^(1/2048)-1)*2048/ln(10) en
2048/ln(10)=889,435.
Waarom nu elf keer die wortel trekken en niet bijvoorbeeld 10 of 12 keer?
Dat kan ook maar dan had je i.p.v. 889 moeten nemen
1024/ln(10)=447,7 of 4096/ln(10)=1778,9.
Waarschijnlijk is dat 11 keer worteltrekken een compromis tussen enerzijds een klein genoege exponent en anderzijds de nauwkeurigheid van de rekenmachine.
Ik hoop dat je hier wat aan hebt.
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 26 oktober 2004
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
Re: Logaritmes bepalen met een huishoudrekenmachientje