WisFaq!

Logaritmes bepalen met een huishoudrekenmachientje

Ik heb van een kennis ooit geleerd hoe je de logaritme van een getal kunt benaderen met een simpel rekenmachientje met een Ö-functie. Waarom het zo werkt kan ik echter niet beredeneren.

Toets het getal in waarvan je de logaritme wilt nemen.
Druk 11 keer op de Ö-toets.
Trek van dit antwoord 1 af.
Vermenigvuldig het antwoord met 889.
Het resultaat is de logaritme van het oorspr. getal.

Weet iemand hoe dit rekenkundig werkt?

((ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ(x))-1)*889 = Log(x)

Henk Pietersma, Emmeloord
26-10-2004

Antwoord

Even proberen:
We nemen x=10
Elf keer de wortel nemen: 1,001124941
Hier 1 vanaftrekken: 0,001124941
Nu met 889 vermenigvuldigen: 1,0000729.
Nu geldt log(10)=¹⁰log(10)=1.
Nog eentje: we nemen x=2
We krijgen (1,000338508-1)*889=0,30093366
log(2)=0,3010299957.
Het gaat hier dus niet om iets dat exact klopt maar om een benaderingsmethode.

Eerst maar eens dat 11 keer worteltrekken:
Ö(x)=x^1/₂
Ö(Ö(x))=(x^1/₂)^1/₂=x^1/₄.
Hier weer de wortel van is (x^1/₄)^1/₂=x^(¹/₈).
Je kunt narekenen dat elf keer de wortel nemen, overeenkomt met verheffen tot de macht ¹/₂₀₄₈.
We hebben links dus staan (x^¹/₂₀₄₈-1)*889.
Verder willen we een benadering voor log(x) zoeken.
Dus b=log(x). We zoeken dus het getal b zo, dat 10^b=x.
Laten we nu eens gaan kijken hoe 10^h zich gedraagt als h dicht bij 0 ligt.
10^0.1=1,258925
10^0.01=1,023293
10^0.001=1,002305
10^0.0001=1,000230285
Het lijkt erop dat bij benadering geldt:
als h dicht bij nul dan is 10^h=1+2,303h.
Wat hebben we hier nu aan?
Wel, we wilden x^¹/₂₀₄₈ berekenen.
We schrijven nu:
x=10^(log(x) (een regel bij logaritmen)
dus
x^(¹/₂₀₄₈)=(10^log(x))^(¹/₂₀₄₈)=
10^(log(x)/2048).
Nu zijn logaritmen in het algemeen niet zo groot, en delen door 2048 levert dus exponenten die dicht bij nul liggen.
We schrijven dus x^¹/₂₀₄₈=10^(log(x)/2048)1+2,303*log(x)/2048=
Dus 2,303*log(x)/2048=x^¹/₂₀₄₈-1.
Dus log(x)=2048/2,303*(x^¹/₂₀₄₈-1)=889*(x^¹/₂₀₄₈-1).

Meer fundamenteel:
Omdat e^x=1+x+¹/₂x²+¹/₆x³+... een machtreeksontwikkeling is van e^x geldt als x dicht bij nul ligt dat we e^x kunnen benaderen door e^x1+x.

We gaan weer de volgende berekening doen:
x^(¹/₂₀₄₈)-1=
(e^(ln(x))^(¹/₂₀₄₈)-1=
e^(ln(x)/2048)-11+ln(x)/2048-1=ln(x)/2048.
Dus ln(x)(x^(¹/₂₀₄₈)-1)*2048
Nu weten we dat log(x)=ln(x)/ln(10)
Dus log(x)(x^(¹/₂₀₄₈)-1)*2048/ln(10) en
2048/ln(10)=889,435.

Waarom nu elf keer die wortel trekken en niet bijvoorbeeld 10 of 12 keer?
Dat kan ook maar dan had je i.p.v. 889 moeten nemen
1024/ln(10)=447,7 of 4096/ln(10)=1778,9.
Waarschijnlijk is dat 11 keer worteltrekken een compromis tussen enerzijds een klein genoege exponent en anderzijds de nauwkeurigheid van de rekenmachine.

Ik hoop dat je hier wat aan hebt.

hk
26-10-2004