WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limiet

hoe bereken ik de volgende limiet?

lim(x naar 0) (cos x + sin x)^(1/x)
nieke
Student universiteit België - dinsdag 27 juli 2004

Antwoord

Hallo,

Als je 0 invult komt er 1^¥, dus dat is onbepaald. Om die onbepaaldheid weg te werken, kan je meestal de regel van de l'Hôpital gebruiken, maar dan moet je wel een 0/0 of ¥/¥ krijgen.

Dat kan hier (en trouwens in veel gevallen) door de uitdrukking (A) te vervangen door e^ln(A).

Dus: e^{ln((cosx+sinx)^(1/x))}
= e^{1/x * ln(cosx+sinx)} (rekenregel ln)
= e^{^{ln(cosx+sinx)}/_x}

Die exponent is nu wel van de vorm 0/0, dus kan je de regel toepassen: leid teller en noemer af (binnen die exponent!)

e^{^(cosx-sinx)/_(cosx+sinx)}
x=0 invullen geeft nu geen onbepaaldheid meer, en het resultaat is dus e^{1/1} = e.

Je kan dit controleren door zeer kleine waarden voor x in te vullen in de oorspronkelijke opgave. Als ik x=0.0001 uitreken, komt dit op 2,7180100319854104314944597472483. Dat is dus overtuigend dicht in de buurt van e...

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 27 juli 2004