WisFaq!

Limiet

hoe bereken ik de volgende limiet?

lim(x naar 0) (cos x + sin x)^(1/x)

nieke
27-7-2004

Antwoord

Hallo,

Als je 0 invult komt er 1^¥, dus dat is onbepaald. Om die onbepaaldheid weg te werken, kan je meestal de regel van de l'Hôpital gebruiken, maar dan moet je wel een 0/0 of ¥/¥ krijgen.

Dat kan hier (en trouwens in veel gevallen) door de uitdrukking (A) te vervangen door e^ln(A).

Dus: e^{ln((cosx+sinx)^(1/x))}
= e^{1/x * ln(cosx+sinx)} (rekenregel ln)
= e^{^{ln(cosx+sinx)}/_x}

Die exponent is nu wel van de vorm 0/0, dus kan je de regel toepassen: leid teller en noemer af (binnen die exponent!)

e^{^(cosx-sinx)/_(cosx+sinx)}
x=0 invullen geeft nu geen onbepaaldheid meer, en het resultaat is dus e^{1/1} = e.

Je kan dit controleren door zeer kleine waarden voor x in te vullen in de oorspronkelijke opgave. Als ik x=0.0001 uitreken, komt dit op 2,7180100319854104314944597472483. Dat is dus overtuigend dicht in de buurt van e...

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-7-2004