WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Karakteristieke polynoom en meer

Ik heb bij een opdracht berekent dat

M={ 2 -1 0 0, 1 1 0 0, 0 0 1 -1, 0 0 1 1} (dus een 4 bij 5 matix met aan rij 2 -1 0 0 en verder). Nu is me bekend uit eerdere opgaven dat de karakteritieke polynoom gelijk is aan: (x^2-2x+2)(-x^2+3x-3x)
en in mijn dictaat staat dat P_T(M)=0 en dat klopt inderdaad. Maar nu moet ik M²⁵. En er staat in mijn dictaat ook hoe ik dat doe:
x^25=q(x)*p_M(x)+r(x) uitwerken volgens euclides, maar hoe doe ik dat?
vriendelijke groet
Erik
Erik
Student universiteit - maandag 24 mei 2004

Antwoord

Hallo Erik,

Ik denk dat je dit als volgt doet: de karakteristieke polynoom is (X²-2X+2)(X²-3X+3).

M voldoet hieraan, dus als je X=M invult komt er nul uit. Maar je hebt nu M²⁵ nodig. Gebruik daarvoor die Euclidische deling: deel X²⁵ door de karakteristieke polynoom (X⁴-5X³+11X²-12X+6). Dit zal wel een stevig werk zijn, en de coëfficiënten zullen nogal groot zijn...

De rest die je overhoudt, zal nog slechts van de derde graad in X zijn, dus je zal hebben:
X²⁵=q(X)p_M(X)+r(X)
waarbij q(x)=X²¹+5X²⁰+14X¹⁹+... (ik heb het niet helemaal uitgerekend)

Vul in die gelijkheid X=M in, dan krijg je
M²⁵=q(M)p_M(M)+r(M)
= q(M)*0 + r(M).
= r(M)

En dan moet je enkel nog r(M) uitrekenen, maar dat is een polynoom van graad 3, dus je zal enkel nog M² en M³ moeten berekenen om het resultaat te bekomen.

Twee opmerkingen nog:
1. Die deling zal zo lang worden dat het misschien aangewezen is ze in 3 of zo te kappen, dus X²⁵=(X⁸)³X. Als je dus X⁸ deelt door de karakteristieke, en de rest daarvan (=graad 3) tot de derde neemt (= graad 9), en dat maal X doet (= graad 10), en dat resultaat weer deelt door de karakteristieke en daarvan de rest bekijkt (= graad 3), dan bekom je hetzelfde resultaat.

2. De matrix heeft zo een eenvoudige blokvorm met veel nullen, dat het allicht sneller gaat als volgt te werken: kwadrateer M, dat geeft M², kwadrateer dit weer, geeft M⁴, weer kwadrateren geeft M⁸ en daarna M¹⁶. Vermenigvuldig M, M⁸ en M¹⁶ en je bent er. Klinkt alsof het veel werk is, maar het is eigenlijk enorm eenvoudig wegens de vele nullen.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 24 mei 2004