WisFaq!

Karakteristieke polynoom en meer

Ik heb bij een opdracht berekent dat

M={ 2 -1 0 0, 1 1 0 0, 0 0 1 -1, 0 0 1 1} (dus een 4 bij 5 matix met aan rij 2 -1 0 0 en verder). Nu is me bekend uit eerdere opgaven dat de karakteritieke polynoom gelijk is aan: (x^2-2x+2)(-x^2+3x-3x)
en in mijn dictaat staat dat P_T(M)=0 en dat klopt inderdaad. Maar nu moet ik M²⁵. En er staat in mijn dictaat ook hoe ik dat doe:
x^25=q(x)*p_M(x)+r(x) uitwerken volgens euclides, maar hoe doe ik dat?
vriendelijke groet
Erik

Erik
24-5-2004

Antwoord

Hallo Erik,

Ik denk dat je dit als volgt doet: de karakteristieke polynoom is (X²-2X+2)(X²-3X+3).

M voldoet hieraan, dus als je X=M invult komt er nul uit. Maar je hebt nu M²⁵ nodig. Gebruik daarvoor die Euclidische deling: deel X²⁵ door de karakteristieke polynoom (X⁴-5X³+11X²-12X+6). Dit zal wel een stevig werk zijn, en de coëfficiënten zullen nogal groot zijn...

De rest die je overhoudt, zal nog slechts van de derde graad in X zijn, dus je zal hebben:
X²⁵=q(X)p_M(X)+r(X)
waarbij q(x)=X²¹+5X²⁰+14X¹⁹+... (ik heb het niet helemaal uitgerekend)

Vul in die gelijkheid X=M in, dan krijg je
M²⁵=q(M)p_M(M)+r(M)
= q(M)*0 + r(M).
= r(M)

En dan moet je enkel nog r(M) uitrekenen, maar dat is een polynoom van graad 3, dus je zal enkel nog M² en M³ moeten berekenen om het resultaat te bekomen.

Twee opmerkingen nog:
1. Die deling zal zo lang worden dat het misschien aangewezen is ze in 3 of zo te kappen, dus X²⁵=(X⁸)³X. Als je dus X⁸ deelt door de karakteristieke, en de rest daarvan (=graad 3) tot de derde neemt (= graad 9), en dat maal X doet (= graad 10), en dat resultaat weer deelt door de karakteristieke en daarvan de rest bekijkt (= graad 3), dan bekom je hetzelfde resultaat.

2. De matrix heeft zo een eenvoudige blokvorm met veel nullen, dat het allicht sneller gaat als volgt te werken: kwadrateer M, dat geeft M², kwadrateer dit weer, geeft M⁴, weer kwadrateren geeft M⁸ en daarna M¹⁶. Vermenigvuldig M, M⁸ en M¹⁶ en je bent er. Klinkt alsof het veel werk is, maar het is eigenlijk enorm eenvoudig wegens de vele nullen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
24-5-2004