WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Minimale hoeveelheid hout bij het maken van een kast

Iemand wil een kast bouwen. Deze moet gemaakt worden met zo min mogelijk hout. In formule-vorm is dit: 3(h.b)+ h.2L+ 8(L.b) waarbij L de lengte is, b de breedte en h de hoogte. Omdat er zo weinig mogelijk hout verbruikt mag worden moeten de uitkomsten zo laag mogelijk zijn. De kast is 20m3. De vorige formule moet voldoen aan b.h.2L=20.

Hoe los ik dit op en wat zijn de maten voor b, L en h?

Hilleb
Student hbo - dinsdag 18 mei 2004

Antwoord

Kloppen uw formules?
Ik zou zeggen: de inhoud is b.h.L=20 (ipv b.h.2L=20);
en de benodigde hoeveelheid plank is (in m²)
2.h.L (voor- en achterkant), plus
3.h.b (zijkanten en verticaal tussenschot), plus
8.L.b (onder- en bovenkant en zes horizontale schappen).
Dus ik ga uit van: minimaliseer f=2hL+3hb+8Lb onder de nevenvoorwaarde g=bhL-20=0.
Men kan dit oplossen met de multiplicatorenmethode van Lagrange, als volgt:
De gradiënt van f is (f_L,f_h,f_b=(2h+8b,2L+3b,3h+8L).
De gradiënt van g is (g_L,g_h,g_b=(bh,bL,hL).
Omdat de gradiënten evenredig moeten zijn moet gelden
f_Lg_h=g_Lf_h en f_hg_b=g_hf_b;
verder moet gelden g=0, dus bhL=20.
Na berekening volgt 8L=3b, 2h=8b, bhL=20.
Dus b³=40/3 en (L,h,b)=(3³Ö(40/3)/8,4³Ö(40/3),³Ö(40/3)).
(Men begrijpt uit de context dat er een minimum is en dat het minimum in dit punt wordt aangenomen.)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 19 mei 2004