WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Merkwaardige lineaire afbeelding

Dit is een reactie op vraag 21802

Het is me nu helemaal duidelijk wat ik me moet voorstellen bij deze lineaire afbeelding. Alleen nu is er nog een vervolg op de opgave waar ik vervolgens toch weer niet helemaal uit kom.
2) Kies bases voor $\mathbf{Q}$² en $\mathbf{Q}$[x]² en geef de matrix van Y ten opzichte van deze bases.
$\to$ zelf dacht ik aan een basis van vorm $\mathbf{Q}$²-$>${(1,0),(0,1)} envoor $\mathbf{Q}$[x]²-$>${1,x,x²}, maar aangezien je een matrix hier voor moet maken kan dat bijna niet goed zijn, of toch?

3) Geef een basis vor het beeld van Y en een basis voor de kern van Y.
$\to$ Ook hier heb ik een idee, neem het beeld van (a,b) (zoals bij vraag 1) en vul a=1, b=0 en a=0, b=1 in. (in de gevonden vergelijkingen bij vraag 1)

4) Is er een vector in $\mathbf{Q}$² met beeld 1-x, zo ja, geef zo'm vector. Idem voor beeld -6+10x-6x².
$\to$Het lijkt mij een zinloze actie te gaan zoeken naar zo'n vector aangezien aan 3 voorwaarden moet voldoen (constanten voor 1,x,x² moeten allen kloppen) Of moet ik hier werken met de gevonden matrix gevonden vraag 2?

PS. Ik begrijp geloof ik niet wat wordt bedoeld met $\mathbf{Q}$[x]², want die 2 slaat op de dimensie, maar een 2e-graadsvregelijking heeft toch dimensie 3?!?!

Nogmaals dank
Erik
Erik
Student universiteit - zondag 21 maart 2004

Antwoord

De definitie van Q[x]² heb je in je eerste vraag zelf gegeven. Het is de naam voor de verzameling van alle polynomen van maximaal de tweede graad. Dus, populair gezegd, alle tweedegraadsfuncties plus alle eerstegraadsfuncties plus alle constanten. Meetkundig: alle parabolen plus alle rechte lijnen plus alle horizontale lijnen.

Als ik (en jij!) goed hebben gerekend, dan is het beeld van vector (a,b) gelijk aan (3a-2b)Y(1,1) + (-a+b)Y(2,3).
Als je de keuzen van de bases maakt zoals je voorstelt, dan krijg je als beeld van de vector (1,0) het polynoom 3(2-3x+x²)-(1-x²) = 4x²-9x+5 en dat is dan 'punt' (5,-9,4)
Idem: Y(0,1) = -3x²+6x-3 = (-3,6,-3)
Hiermee kun je de matrix opschrijven. Twee kolommen en drie rijen.
Als je nu wilt uitzoeken of er een origineel is dat het polynoom 1-x oplevert, laat de matrix dan 'los' op een vector (p,q).
Het beeld is dan de vector (5p-3q,-9p+6q,4p-3q).
Door dit gelijk te laten worden aan (1,-1,0), vind je p = 1 en q = 4/3. Invulling hiervan in 4p+6q levert inderdaad -1 op.
Wil je er de vector (-6,10,-6) uitkrijgen, dan moet gelden dat 5p-3q=-6 en -9p+6q=10 en 4p-3q=-6.
Oplossen van de eerste twee vergelijkingen geeft p = -2 en q = -4/3 en dat klopt niet met de derde vergelijking.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 21 maart 2004