WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Kwadraatresten

Dit is een reactie op vraag 20891

Hallo Christophe,

Helaas kwam ik er nog niet goed uit, omdat ik sommige gelijkheden niet heb gehad (3 t/m 6 van de pagina, 3 en 4 ken ik wel maar in een andere vorm)
Ik mag wel de volgende gelijkheden gebruiken:

(ik gebruik het =-teken in x=y(modp),x en y zijn congruent modulo p en het Legendresymbool schrijf ik als (a/p) )

1. De gelijkheden 1,2 en 7 van de pagina die u hebt opgegeven.
2. (-1/p)=1 als p=1(mod4) en (-1/p)=-1 als p=3(mod4)
3. (2/p)=1 als p=±1(mod8) en (2/p)=-1 als p=±3(mod8)

Zou u het met deze eigenschappen aan mij uit willen leggen. Heel erg bedankt.

Groeten,

Viky
viky
Student universiteit - dinsdag 2 maart 2004

Antwoord

OK, dan zullen we (6/p) moeten schrijven als (2/p)(3/p).

Voor (2/p) mag je de eigenschap gebruiken dat dit 1 is als p=±1 mod 8, en -1 als p=±3 mod 8. Dus voor p=1,5,19,23 mod 24 geeft dit resp. 1,-1,-1,1.

Voor (3/p) gebruik je de eigenschap (7) (dat mag want p is oneven):
(3/p) = (p/3) (-1)^{(3-1)/2 * (p-1)/2}
(3/p) = (p/3) (-1)^(p-1)/2
Noem die (-1)^(p-1)/2 vanaf nu 'a'.

Duidelijk geldt dat
a=1 als p=1 mod 4
a=-1 als p=3 mod 4

De waarde van (p/3) is eenvoudig op te stellen: mod 3 zijn alle kwadraten 0 of 1. Dus (p/3)=1 Û p=1 mod 3.

p=1 mod 24: (2/p)=1; (p/3)=1; a=1
p=5 mod 24: (2/p)=-1; (p/3)=-1; a=1
p=19 mod 24: (2/p)=-1; (p/3)=1; a=-1
p=23 mod 24: (2/p)=1; (p/3)=-1; a=-1

En het product is dus steeds 1.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 2 maart 2004