WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Voronoi diagram

Dit is een reactie op vraag 19880

Alle plaatsen in een cel liggen dichter bij het centrum van deze cel dan andere centrums (dus plaatsen) van de andere cellen. Dit is dus het centrum. De lijnen ken ik idd al wel, maar niet de punten (of: centra). Ja ik moet de plaats van deze punten bepalen.

Ik moet dus de centra bepalen van een plaatje (zoals die rechtste) alleen is er dan een hoekpunt waar 4 lijnen naartoe lopen ipv 3 (zoals wat je getekend hebt in de tekeningen)

1: Om de plaatsen van de punten te bepalen neem je normaal gesproken een willekeurig punt A in een cel en spiegel je dit in de drie lijnen van de hoekpunten. Je krijgt nu een punt B (bijv.). Het centrum zou nu kunnen liggen op de lijn k die loopt vanaf het hoekpunt door punt het midden van het lijnstuk AB.

2: Vervolgens pak je weer een ander willekeurig punt, punt C, in diezelfde cel en ga je weer spiegelen, alleen nu om het andere hoekpunt van de cel. Als je weer in de cel uitkomt, krijg je een punt D. Het centrum zou nu kunnen liggen op de lijn m die loopt vanaf het hoekpunt door het midden van het lijnstuk CD.

Waar de lijnen l en m elkaar kruisen is normaal gesproken HET centrum van de cel. (dit kun je vervolgens weer spiegelen in de andere cellen.) Nu is mijn probleem: Bij punt 2 heb ik een hoekpunt waar 4 lijnen opuit komen. Kan je nu ook het centrum bepalen door 4 x te spiegelen?
Ik kwam er iig niet uit....
Hoop dat jullie mij nu wel kunnen helpen.

Bvd Jan-Wouter
Jan-Wo
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 9 februari 2004

Antwoord

Beste Jan-Wouter,

Het probleem waar jij mee te maken hebt is het volgende:

Je combineerde bij een drielandenpunt een drietal spiegelingen. De combinatie van drie spiegelingen in lijnen door een vast punt is weer een spiegeling in een lijn door dat punt. Zo weet je dat het midden van AB zoals je onder 1. beschrijf op zichzelf uit moet komen, en dat de lijn door het hoekpunt en het gevonden midden de spiegellijn is.

Helaas, de combinatie van vier spiegelingen in lijnen door een vast punt is geen spiegeling, maar een rotatie om het vaste punt. Is die rotatie een rotatie over 360 graden, dan is die dat ook voor elk punt in de cel. Daar heb je dan dus niets aan. Sterker nog, als je een voronoi-diagram hebt met alleen vierlandenpunten, dan liggen de "centra" niet eens vast.

Je kunt bijvoorbeeld een Voronoi-diagram met allemaal vierkante cellen samenstellen uit blokken die op de volgende manieren zijn gevuld:

Combinatie van een even aantal spiegelingen wordt een rotatie, van een oneven aantal spiegelingen wordt weer een spiegeling.

Kortom, je hebt drielandenpunten, of eventueel vijflandenpunten, zeven-, ..., nodig.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 10 februari 2004