WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Het binomium van newton en de waarde van e

voor mijn praktische opdracht wiskunde ben ik bezig met het onderwerp e. Nu loop ik vast in het combineren van de formule e= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 1/¥! en het binomium van Newton. je hebt de formule e= (1+(1/n))n waarin n een heel groot getal is. Door het binomium van Newton toe te passen zou je op e= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 1/¥! uit kunnen komen. Mijn vraag is hoe, het lukt me namelijk echt niet. Alvast bedankt!
Marjol
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 3 februari 2004

Antwoord

Hoi,

Het binomium van Newton laat zien dat (1+1/n)ⁿ=sum(C(n,i)/nⁱ:i=0..n) met C(n,i)=n!/[i!.(n-i)!].
De i-de term is dus n/n.(n-1)/n. ... .(n-i+1)/n.1/i!.
Met a_i(n)=n/n.(n-1)/n. ... .(n-i+1)/n, zien we dus dat (1+1/n)ⁿ=sum(a_i(n)/i!:i=0..n).
We zijn er als we nu nog aantonen dat lim(n®+¥,a_i(n))=1. Dit laatste volgt uit het feit dat a_i(n) het quotiënt is van 2 veeltermen van de i-de graad in n met hoogstegraadscoëfficiënten 1. Strikt mathematisch is niet niet helemaal correct, maar je kan wel inzien vanwaar de link komt.

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 3 februari 2004