WisFaq!

Het binomium van newton en de waarde van e

voor mijn praktische opdracht wiskunde ben ik bezig met het onderwerp e. Nu loop ik vast in het combineren van de formule e= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 1/¥! en het binomium van Newton. je hebt de formule e= (1+(1/n))n waarin n een heel groot getal is. Door het binomium van Newton toe te passen zou je op e= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 1/¥! uit kunnen komen. Mijn vraag is hoe, het lukt me namelijk echt niet. Alvast bedankt!

Marjolein
3-2-2004

Antwoord

Hoi,

Het binomium van Newton laat zien dat (1+1/n)ⁿ=sum(C(n,i)/nⁱ:i=0..n) met C(n,i)=n!/[i!.(n-i)!].
De i-de term is dus n/n.(n-1)/n. ... .(n-i+1)/n.1/i!.
Met a_i(n)=n/n.(n-1)/n. ... .(n-i+1)/n, zien we dus dat (1+1/n)ⁿ=sum(a_i(n)/i!:i=0..n).
We zijn er als we nu nog aantonen dat lim(n®+¥,a_i(n))=1. Dit laatste volgt uit het feit dat a_i(n) het quotiënt is van 2 veeltermen van de i-de graad in n met hoogstegraadscoëfficiënten 1. Strikt mathematisch is niet niet helemaal correct, maar je kan wel inzien vanwaar de link komt.

Groetjes,
Johan

andros
3-2-2004