WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Deelruimte

Hoe bepaal je de basis van de deelruimte van (x:Ax=0) van R^5 van
A= (1 3 -1 4 1)
(2 1 1 7 1)
(2 -4 4 6 0)
(3 4 0 11 2)
Ik begrijp niet hoe je nu zomaar kunt bepalen wat de vrije variabelen zijn en wat je eigenlijk aan het doen bent.
Aub kunt u mij helpen.
Eef

evelie
Student universiteit - dinsdag 6 januari 2004

Antwoord

Om te beginnen met je laatste vraag: wat ben je eigenlijk aan het doen.
Je bent op zoek naar vectoren vÎ₅ waarvoor geldt: A·v = 0 (de nulvector dus).
De vector v heeft vijf kentallen. Laten we deze voor het gemak even aanduiden met a, b, c, d en e.
Nu willen we alle waarden voor a, b, c, d en e weten, waarvoor de bovenstaande gelijkheid geldt.
Je kent waarschijnlijk wel het veegproces, ook wel Gauss-eliminatie genoemd.
Beginnend met de matrix

kom je met vegen tot het volgende resultaat:

Hieraan kun je zien dat je maar liefst drie vrije variabelen hebt. De keuze van bijvoorbeeld c, d en e is dan vrij. (Je mag ook drie andere variabelen vrij kiezen)
Uit de geveegde matrix haal je de vergelijking:
-5b + 3c - d - e = 0, dus b kun je uitdrukken in c, d en e.
De bovenste regel in de geveegde matrix geeft dan de vergelijking:
a + 3b - c + 4d + e = 0, waarmee dus ook a uitgedrukt kan worden in c, d en e.
Kies nu bijvoorbeeld achtereenvolgens:
c=1, d=0, e=0 ® b=³/₅, a=-⁴/₅
c=0, d=1, e=0 ® ...
c=0, d=0, e=1 ® ...
Dan heb je je basis!
succes.
groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 6 januari 2004