WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Minimale oppervlakte van een literblik

Gegeven: een cilindervormig conservenblik met een inhoud van 1 liter. Zoek uit bij welke diameter en hoogte een minimale hoeveelheid blik nodig is. Zou u me kunnen helpen?
Imp
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 20 juli 2001

Antwoord

Eerst maar eens een formule voor de inhoud van een cilinder:
$
inhoud = \pi \cdot r^2 \cdot h
$
Bij een inhoud van 1 dm³ geeft dat:
$
\eqalign{\pi \cdot r^2 \cdot h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}
{{\pi \cdot r^2 }}}
$
Nu de formule voor de oppervlakte (inclusief bodem en deksel):
$
oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2
$
Vul $
\eqalign{h = \frac{1}
{{\pi \cdot r^2 }}}
$ in de bij de formule voor de oppervlakte:
$
\eqalign{
& oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr
& oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1}
{{\pi \cdot r^2 }} + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr
& oppervlakte = \frac{2}
{r} + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr}
$
Dan bereken je de afgeleide:
$
[oppervlakte]^{\,|} = - \frac{2}
{{r^2 }} + 4 \cdot \pi \cdot r
$
Stel de afgeleide op nul en los op:
$
\eqalign{
& - \frac{2}
{{r^2 }} + 4 \cdot \pi \cdot r = 0 \cr
& - 2 + 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 0 \cr
& 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 2 \cr
& r^3 = \frac{1}
{{2\pi }} \cr
& r = \root 3 \of {\frac{1}
{{2\pi }}} \cr
& r \approx {\text{0}}{\text{,541925}} \cr}
$
Even een tekenverloop tekenen... om te controleren dat het hier inderdaad een minimum betreft...

h is dan ongeveer 1,08385 dm

De inhoud is 1 dm³ en de oppervlakte is ongeveer 5,536 dm²

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 20 juli 2001

Re: Minimale oppervlakte van een literblik