|
|
|
\require{AMSmath}
Bewijs formule van Euler
Hoe kun je de volgende formule van Euler bewijzen:
e$\Phi$ i = cos$\Phi$ + i sin$\Phi$?
Peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 23 oktober 2003
Antwoord
Door te vertrekken van de machtreeks voor exp(z). Dat is trouwens de *definitie* van exp(z) in de hogere wiskunde.
exp(z) = 1 + z + z2/2! + z3/3! + z4/4! + ...
zodat
exp(iz) = 1 + iz - z2/2! - iz3/3! + z4/4! + ...
exp(-iz) = 1 - iz - z2/2! + iz3/3! + z4/4! + ...
Sinus en cosinus worden nu hieruit *gedefinieerd* als
sin(z) = (1/(2i))[exp(iz)-exp(-iz)] [*]
cos(z) = (1/2)[exp(iz)+exp(-iz)] [**]
Hieruit kan je een veelheid van eigenschappen bewijzen die je al kent, zoals sin2(z)+cos2(z) of de verdubbelingsformules.
Vermenigvuldig [*] met i en tel er [**] bij op om het gevraagde te bekomen. Eigenlijk is dat dus een gevolg van de definities van sin(z) en cos(z) en niet echt een te bewijzen stelling...
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 23 oktober 2003
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
