WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

A=[Cn,...,C0]g

Het natuurlijk getal a isg-tallig geschreven:
a=[Cn,...,C0]g

* Toon aan dat a gⁿ⁺¹

* Toon aan dat Cngⁿ a (Cn+1)gⁿ

* Bewijs dat natuurlijke getallen g-tallig kunnen worden geschreven. Door te laten zien dat de notatie van links naar rechts bepaald is in plaats van andersom. Gebruik het sterke principe van volledige inductie.

Als iemand dit voor mij wil oplossen/uitleggen dan is ie de allergrootste schat van de heeeeeeele wereld!

Fleurtjuhhhhhh
Fleur
Student hbo - zondag 21 september 2003

Antwoord

Hallo Fleur,

1. Als a=[C_n,..,C₀]_g dan betekent dit dat
a=C_ngⁿ + C_n-1g^n-1 + ... + C₀.(*)
Bovendien is elke C_i g, dus = g-1.
Dus
a = (g-1)gⁿ + (g-1)g^n-1 + ... + (g-1)
= gⁿ⁺¹ - gⁿ + gⁿ - g^n-1 + ... + g - 1
= gⁿ⁺¹ - 1
Dus a gⁿ⁺¹

2. In het tweede staan twee ongelijkheden. De linkse volgt eenvoudig uit (*). De rechtse kan je bewijzen door a - C_ngⁿ te bekijken: dat is dus
[C_n-1,...,C₀]_g en wegens je eerste vraag is dit kleiner dan g^n-1+1 = gⁿ. We hebben dus:
a - C_ngⁿ gⁿ en dat is een andere schrijfwijze voor de rechtse ongelijkheid.

3. "Door te laten zien dat de notatie van links naar rechts bepaald is in plaats van andersom"... Dus je gaat ervan uit dat je alle natuurlijke getallen van 0 tot en met N kan schrijven in het g-tallig stelsel, te bewijzen dat je ook N+1 kan schrijven?
Stel N = [C_n,..,C₀]_g
Dus N = C_ngⁿ + C_n-1g^n-1 + ... + C₀
En N+1 = diezelfde uitdrukking + 1.
Je weet dat alle C_i kleiner moeten zijn dan g.
Dus als C₀ g-1, dan mag je die 1 bijtellen bij de C₀ en dan krijg je:
N+1 = [C_n,..,C₀+1]_g
Anderzijds, als C₀ = g-1, dan mag je die voorstelling niet gebruiken! Dan moet je kijken naar C₁: is die gelijk aan g-1? Indien niet, dan krijg je:
N+1 = [C_n,..,C₁+1,0]_g
Het geval C₁ = g-1 moet je dan weer apart behandelen, enzovoort. Vermits N een eindig getal is, kan je dus altijd de redenering voltooien en heb je N+1 g-tallig kunnen schrijven. Dan moet je alleen nog nagaan dat dit een juiste schrijfwijze is. Daarvoor maak je gebruik van de uitdrukking zoals in (*), en je stelt dat C_t = C_t-1 = ... = C₀ = g-1 en C_t+1 g-1. Je stelt voor N de uitdrukking (*) op, en ook voor N+1 (waarbij dus de nieuwe C_t tot en met C₀ nul worden, en de C_t+1 één eenheid is gestegen), en je controleert dat de uitdrukking (*) voor N+1, werkelijk eentje meer is dan de uitdrukking (*) voor N.

Je vroeg wel volledige inductie, dat betekent dat je gebruik maakt van het feit dat je ALLE getallen van 1 tot N kan schrijven, niet enkel dat je N kan schrijven. Dat heb ik in deze redenering niet gebruikt, en ik zie ook niet goed in hoe je dat dan wel zou moeten doen. Ik hoop dat dit ook goedgekeurd wordt.

Vriendelijke groeten,
"de allergrootste schat van de heeeeeeele wereld"

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 22 september 2003