Het natuurlijk getal a isg-tallig geschreven: a=[Cn,...,C0]g
* Toon aan dat a gn+1
* Toon aan dat Cngn a (Cn+1)gn
* Bewijs dat natuurlijke getallen g-tallig kunnen worden geschreven. Door te laten zien dat de notatie van links naar rechts bepaald is in plaats van andersom. Gebruik het sterke principe van volledige inductie.
Als iemand dit voor mij wil oplossen/uitleggen dan is ie de allergrootste schat van de heeeeeeele wereld!
Fleurtjuhhhhhh
Fleur
Student hbo - zondag 21 september 2003
Antwoord
Hallo Fleur,
1. Als a=[Cn,..,C0]g dan betekent dit dat a=Cngn + Cn-1gn-1 + ... + C0.(*) Bovendien is elke Ci g, dus = g-1. Dus a = (g-1)gn + (g-1)gn-1 + ... + (g-1) = gn+1 - gn + gn - gn-1 + ... + g - 1 = gn+1 - 1 Dus a gn+1
2. In het tweede staan twee ongelijkheden. De linkse volgt eenvoudig uit (*). De rechtse kan je bewijzen door a - Cngn te bekijken: dat is dus [Cn-1,...,C0]g en wegens je eerste vraag is dit kleiner dan gn-1+1 = gn. We hebben dus: a - Cngn gn en dat is een andere schrijfwijze voor de rechtse ongelijkheid.
3. "Door te laten zien dat de notatie van links naar rechts bepaald is in plaats van andersom"... Dus je gaat ervan uit dat je alle natuurlijke getallen van 0 tot en met N kan schrijven in het g-tallig stelsel, te bewijzen dat je ook N+1 kan schrijven? Stel N = [Cn,..,C0]g Dus N = Cngn + Cn-1gn-1 + ... + C0 En N+1 = diezelfde uitdrukking + 1. Je weet dat alle Ci kleiner moeten zijn dan g. Dus als C0 g-1, dan mag je die 1 bijtellen bij de C0 en dan krijg je: N+1 = [Cn,..,C0+1]g Anderzijds, als C0 = g-1, dan mag je die voorstelling niet gebruiken! Dan moet je kijken naar C1: is die gelijk aan g-1? Indien niet, dan krijg je: N+1 = [Cn,..,C1+1,0]g Het geval C1 = g-1 moet je dan weer apart behandelen, enzovoort. Vermits N een eindig getal is, kan je dus altijd de redenering voltooien en heb je N+1 g-tallig kunnen schrijven. Dan moet je alleen nog nagaan dat dit een juiste schrijfwijze is. Daarvoor maak je gebruik van de uitdrukking zoals in (*), en je stelt dat Ct = Ct-1 = ... = C0 = g-1 en Ct+1 g-1. Je stelt voor N de uitdrukking (*) op, en ook voor N+1 (waarbij dus de nieuwe Ct tot en met C0 nul worden, en de Ct+1 één eenheid is gestegen), en je controleert dat de uitdrukking (*) voor N+1, werkelijk eentje meer is dan de uitdrukking (*) voor N.
Je vroeg wel volledige inductie, dat betekent dat je gebruik maakt van het feit dat je ALLE getallen van 1 tot N kan schrijven, niet enkel dat je N kan schrijven. Dat heb ik in deze redenering niet gebruikt, en ik zie ook niet goed in hoe je dat dan wel zou moeten doen. Ik hoop dat dit ook goedgekeurd wordt.
Vriendelijke groeten, "de allergrootste schat van de heeeeeeele wereld"
gn+1
