WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Extremen en asymtoten bepalen

Beste wisfaq,

Hoe bepaalt men de extremen en asymtoten van :

f(x)= x.e^x/(x-1) ?

Dan had ik nog een vraag, er is gegeven: f(x)=lnx en g(x)= ax² a E R, nu wordt er gevraagd om alle waarden van a waarvoor f en g elkaar raken ?

Dan weet ik dat men de functies aan elkaar gelijk moet stellen (denk ik ) maar ik kan de vergelijking niet oplossen, kunt u dit laten zien ?

Alvast heel erg bedankt
Van De
Iets anders - woensdag 13 augustus 2003

Antwoord

Hoi,
De extremen bepalen

Tekentabel

De functie heeft dus een maximum voor x = ¹/₂ - ¹/₂Ö5 bijbehorende y-waarde is f(¹/₂ - ¹/₂Ö5) 0,2058808575 en de functie heeft een minimum voor x = ¹/₂ + ¹/₂Ö5 met bijbehorende y-waarde f(¹/₂ + ¹/₂Ö5) 13,20317907.
Indien je ook de buigpunten moest bepalen dan moet je f"(x) nog berekenen, gelijkstellen aan 0 én een tekenschema maken en kijken of er voor en na het nulpunt het teken verandert, indien het teken verandert is het een buigpunt, anders niet. Maar ik denk niet dat dat de bedoeling is.
Ter informatie
f"(x) = ^{e^x(4+x³-2x²-x)}/_(x-1)³ en hiervan de nulpunten berekenen is alles behalve een pretje, met de computer kom ik op één reëel nulpunt x = -1,269530842... maar het teken verandert niet dus er is geen buigpunt.

De asymptoten bepalen
Zoals je weet zijn er 3 mogelijke asymptoten: de verticale, de horizontale en de schuine asymptoot.

De verticale asymptoot
Zij a Î , als lim_x®af(x) = ±¥, lim_xaf(x) = ±¥ of lim_x¯af(x) = ±¥ dan noemen we de rechte x = a een verticale asymptoot van f. Indien je te maken hebt met een rationale functie, dan zijn de nulpunten van de noemer verticale asymptoten (deze nulpunten mogen niet eveneens nulpunten van de teller zijn, want dan is er een perforatie in de grafiek). In ons geval is er dus een verticale asymptoot namelijk x = 1.

Horizontale asymptoot
Als lim_x®¥f(x) = b Î of lim_x®-¥f(x) = b Î dan noemen we de rechte y = b een horizontale asymptoot van f.
In ons geval lim_x®¥^{x·e^x}/_x-1 = ¥/¥ = onbepaald Þ L'Hopital toepassen lim_x®¥e^x(x+1) = ¥ aangezien ¥ Ï is dit geen horizontale asymptoot. In plaats van L'Hopital had je ook teller en noemer kunnen delen door x (zie methode hieronder).

lim_x®-¥^{x·e^x}/_x-1
= lim_x®-¥^{e^x}/_1-(1/x)
= ^{e^(-¥)}/_{1 - (1/(-¥))}
= 0/(1 - 0) = 0

Dus horizontale asymptoot y = 0 (oftewel de x-as).

Schuine asymptoot
De rechte y = ax + b is een schuine asymptoot van f dan en slechts dan als lim_x®¥(f(x) - (ax + b)) = 0 of lim_x®-¥(f(x)-(ax+b)) = 0
Hierbij is a = lim_x®¥^f(x)/_x Î ₀
b = lim_x®¥(f(x)-ax)Î
Je zult zien dat er geen schuine asymptoten zijn want de limiet van a en b is oneindig (Ï ).

f(x) = ln(x) en g(x) = ax², f(x) = g(x) oplossen
Delen beide functies door a (a niet gelijk aan 0, indien a wel 0 zou zijn, is de unieke oplossing x = 1)
¹/_a·ln(x) = x²
¹/_a = ^x²/_ln(x)
ax² = ln(x)
a = ^ln(x)/_x²

Indien iets onduidelijk is, kun je altijd reageren.

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 augustus 2003