WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Toppen, brandpunten, symmetrieassen en asymptoten

Ik heb een vraagje. Van de volgende kegelsneden moet ik de bijzonderheden zoals toppen, brandpunten, symmetrieassen en asymptoten bepalen. Ik heb echt geen idee hoe ik dit doe. Zijn hier standaardformules voor?

a) y+4x-2y²=4
b) 2x²+y²-6x+8y-16=0
c) 3y²-x²+18y+4x+11=0

Alvast bedankt!
f.
Student hbo - woensdag 9 juli 2003

Antwoord

Je hebt natuurlijk kennis gemaakt met de standaardvormen van de diverse krommen.
Vergelijkingen als x²/a² + y²/b² = 1 (ellips) of x²/a² - y²/b² = 1 (hyperbool) of y = 2px² (parabool) of x² + y² = r² (cirkel) hebben dan geen geheimen meer voor je.
Dit zijn de zogenaamde standaardvergelijkingen.
Zodra er echter met de kromme geschoven, gedraaid enz. gaat worden, verandert de vergelijking uiteraard ook.
Merk en passant op dat je vergelijkingen geen term xy bevatten. Dat is prettig, want dat wil zeggen dat de kromme niet gedraaid is.
De clou van je vraag is nu eigenlijk: breng de gegeven vergelijking terug in die standaardvorm.

Bij a krijg je dan: 2y² - y = 4x - 4 ofwel y² - ¹/₂y = 2x - 2
Links moet je nu tot een kwadraat zien te komen. Je krijgt dan: (y - ¹/₄)² = 2(x - 31/32)
Hierin herken je dan de parabool y² = 2x die verschoven is over vector (31/32 , 1/4)
Door nu de karakteristieken van deze laatste parabool op te schrijven en ook daar de verschuiving op toe te passen, heb je ook alles van de parabool waarover het feitelijk gaat.

Bij b wordt het: 2x² - 6x + y² + 8y = 16 ofwel 2(x - 1.5)² + (y + 4)² = 36¹/₂.
Door aan beide zijden door 36¹/₂ te delen krijg je rechts de waarde 1 en ga je een ellipsvergelijking herkennen.

Bij c ten slotte wordt het: x² - 4x - 3y² - 18y = 11 ofwel x² -4x - 3(y² + 6y) = 11 ofwel (x - 2)² -3(y - 3)² = -12
Natuurlijk kun je ook schrijven 3(y - 3)² - (x - 2)² = 12.
Een deling door 12 laat je dan weer de hyperboolvergelijking zien.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 9 juli 2003