WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Aanpak van vergelijkingen

Dit is een reactie op vraag 11398

Hoi Davy,

Bedankt voor het beantwoorden van mijn vragen, ik had nog een vraagje over de uitkomsten van vraag B en C.

Ik vind goniometrie het lastigste onderdeel van wiskunde, en heb daardoor vaak problemen met de uitkomsten van vergelijkingen met de sinus ,cosinus ,en de tangens, zo begrijp ik niet waarom u bij vraag B en C o.a
x=p+kx of x= 1/2p+2kx uitkrijgt ik snap die 1/2p wel maar ik weet niet wanneer men x=p+kx moet gebruiken en wanneer men x=p+2kx moet gebruiken en is dit bij de cosinus dan weer anders ? wanneer gebruikt men 2kx i.p.v kx ?

P.S ik moet morgen beginnen met een hoofdstuk compleet over goni dus dat wordt veel vragen stellen....ik hoop dat jullie dat niet erg vinden.
Alvast bedankt voor het beantwoorden Davy.
Met vriendelijke groet,
Tim
Tim
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 21 mei 2003

Antwoord

Hoi,

Dat je de gegeven uitleg snapt is al heel belangrijk.
Met veel oefenen creëer je inzicht en weet je intuïtief al welke manier zal lukken en welke niet.

De gemakkelijkste manier om je te laten inzien dat een oplossing klopt is door een schets te maken en het verband daar uit te halen (door gebruik te maken van spiegeling, de bekende periode 2p van sinusoïden, door handig gebruik te maken van je GRM).

Ik zal je eerst een gemakkelijk voorbeeld geven.
Beschouw de functie f(x) = sin(x) met xÎ[-2p,2p] en y Î [-1,1] (maar dat laatste is logisch, denk maar aan de goniometrische cirkel).

Ik wil nu weten voor welke waarden van x geldt dat sin(x) = 0. Dan kun je twee dingen doen:
De snijpunten met de x-as gaan bepalen met je GRM
De goniometrische cirkel gebruiken

(Je zou 't antwoord ook van buiten kunnen leren, maar hoe je eraan bent gekomen is belangrijker).

Je kunt uit de grafiek aflezen dat de afstanden tussen de snijpunten overal gelijk is. Het gemakkelijkste bij deze figuur is vanuit het nulpunt te werken, want daar snijdt de grafiek de x-as, en dan het volgende (snijpunt op pos. x-as, of eventueel neg. gedeelte aangezien afstand toch overal hetzelfde is) snijpunt bepalen, want dan weet je dat het volgende snijpunt een veelvoud van diezelfde afstand of naar rechts of naar links ligt.
Je zou m.b.v. je GRM via de optie intersect het snijpunt kunnen bepalen. Je zult x=3,14159265... uitkomen voor het volgende snijpunt vanaf de oorsprong naar rechts gezien. Komt dat getal je bekend voor? Het is namelijk p. Hetvolgende snijpunt ligt p verder, dus x=2p, hetvolgende weer p verder dus 3p, ... maar je zou ook naar links kunnen gaan (t.o.v. oorsprong) dan ga je p naar links toe, dus x=-p, de volgende ligt weer p verder naar links, dus x=-2p en zo zou je nog uren kunnen verder gaan. Daarom heeft men een algemene formule bedacht. Hierin is k een 'lopertje' van . Je kent de verzameling = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} je schrijft dan sin(x)=0 Û x=kp.

Een moeilijker voorbeeld is bijvoorbeeld cos(x) = ¹/₂?
Ik zou daar zo aan beginnen: er is een functie waarmee je de inverse cosinus kunt berekenen (de zogeheten arccos, bgcos, via GRM shift + cos). Laten we dat 'ns door 't GRM berekenen arccos(0.5) = 1.047197551. We weten dat p een belangrijke rol speelt bij sinusoïden dus laten we dat getal 'ns delen door p en wat blijkt? Het getal stelt ¹/₃p voor. Dat is het eerste snijpunt van de functie y = 0,5 en g = cos(x) in het positieve gedeelte van de x-as. Laten we 'ns naar het plaatje kijken dat hier bijhoort

Zie je dat de cosinusfunctie een spiegelas heeft? De spiegelas is de y-as. De afstand vanuit het punt (0,0) tot (¹/₃p,0) is hetzelfde als van (0,0) naar (-¹/₃p,0). En aangezien de cosinusfunctie (evenals sinusfunctie) een periode van 2p heeft ligt het volgende snijpunt, van x=¹/₃p gezien 2p verder dus x=⁷/₃p, en weer 2p verder enzovoorts, maar we kunnen ook 2p teruggaan, dus x=¹/₃p - 2p en dat is x=-⁵/₃p, en weer 2p terug...
Maar we zouden ook vanaf -¹/₃p een veelvoud van een periode naar rechts of links kunnen gaan.

Dus algemeen is de oplossing cos(x) = ¹/₂ Û x = ±¹/₃p + 2kp (kÎ) waarmee '±' niet ongeveer maar plus en min bedoeld wordt.

Ik hoop dat 't zo wat duidelijker is,

Groetjes,

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 21 mei 2003