WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Breuksplitsen

Dit is een reactie op vraag 10459

hallo,
ik ben bezig met het splitsen van een breuk met een tweede graads noemer en een vierde graads teller. ik heb hem helemaal uitgewerkt voor een werkstuk, maar als ik de vergelijking in m'n GR intyp klopt het antwoord niet. toch kan ik nergens een fout ontdekken. kunt u mij aub helpen?
vriendelijk bedankt,
celine

We nemen als voorbeeld:

(x⁴ - 1)/(x² + 5x - 2)

We gaan weer te werk zoals we bij de derde graads teller ook deden. De hoogste macht van de noemer past x² keer in de hoogste macht van de teller. We vermenigvuldigen de noemer met x²:

x² (x² + 5x - 2) = x⁴ + 5x³ - 2x²

Dit trek je af van de teller:

x⁴ - 1 - (x⁴ + 5x³ - 2x²) = -5x³ + 2x² - 1

De nieuwe breuk wordt dan:

x² + (-5x³ + 2x² - 1)/(x² + 5x - 2)

Nu hebben we een breuk waarin de hoogste macht van de noemer -5x keer in de hoogste macht van de teller past. We vermenigvuldigen de noemer met -5x en trekken dit af van de teller:

-5x (x² + 5x - 2) = -5x³ - 25x² + 10x
-5x³ + 2x² - 1 - (-5x³ - 25x² + 10x) = 27x² - 10x - 1

De nieuwe breuk wordt nu:

x² - 5x + (27x² - 10x - 1)/(x² + 5x - 2)

In deze breuk past de hoogste macht van noemer 27 keer in de hoogste macht van de teller. Vermenigvuldig de noemer met 27 en trek dit af van de teller:

27 (x² + 5x - 2) = 27x² + 135x -54
27x² - 10x - 1 - (27x² + 135x -54) = -145x + 53

De breuk wordt:

x² - 5x + 27 + (-145x + 53)/(x² + 5x - 2)

Deze breuk moeten we nog verder splitsen, want we hebben nu een eerste graads teller en een tweede graads noemer. We doen dit op de manier van de eerste methode:

(-145x + 53)/(x² + 5x - 2)
De noemer moeten we anders schrijven en wordt (m.b.v de abc formule):

-145x + 53 = A + B
(x + 5,37)(x - 0,37) (x + 5,37) (x - 0,37) (Let op: de getallen zijn afgerond!)(hier horen streepjes onder de breuk te staan!)

-145x + 53 = A(x - 0,37) + B(x + 5,37)

Om A op te lossen zorgen we ervoor dat de term met B wegvalt door x = -5,37 in te vullen

-145 · -5,37 + 53 = A(-5,37 - 0,37)
831,65 = A(-5,74)
A = -144,89 (dit is een afgerond getal)

Om B op te lossen zorgen we vervolgens dat de term met A wegvalt door x = 0,37 in te vullen:

-145 · 0,37 + 53 = B(0,37 + 5,37)
-0,65 = B(5,74)
B = -0,11 (ook dit is een afgerond getal)

Het antwoord wordt dus:

x² - 5x + 27 + -144,89 + -0,11
(x + 5,37) (x - 0,37)

celine
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 10 mei 2003

Antwoord

De splitsing die je maakt is nochtans correct. De nulpunten van de noemer zijn

x₁ = (-5-Ö33)/2 = -5,372281324...
x₂ = (-5+Ö33)/2 = 0,372281324...

Exacte uitdrukkingen voor de coefficienten A en B zijn

A = -145/2 - (277/22)Ö33 = -144,8292660...
B = -145/2 + (277/22)Ö33 = -0,17073395...

Waarom begon je met afrondingen te werken? Zo een schrik van worteltekens?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 11 mei 2003