Re: Differentiaal van een functie met 2 veranderlijken

Dit is een reactie op vraag 93193

Hoe komt het dan dat de oplossing wel een som is?

En als ik beide integralen uitreken kom ik bij beide een term x⁴y³ uit in de oplossing...

Nvt
Student universiteit - donderdag 6 januari 2022

Antwoord

De oplossing is geen som, maar een combinatie van beide primitieven
Als je beide integralen uitrekent krijg je als eerste
$$\int 4x^3y^3+\frac1x\,\mathrm{d}x = x^4y^3+\ln x+g(y)
$$Met $g$ een onbekende functie van $y$: de integratie constante is een functie van $y$ omdat je naar $x$ primitiveert, als je dat resultaat partieel naar $x$ differentieert verdwijnt die $g(y)$ weer. Evenzo
$$\int 3x^4y^2-\frac1y\,\mathrm{d}y = x^4y^3-\ln y + h(x)
$$met $h$ een onbekende functie van $x$.
Beide uitkomsten moeten ons $f(x,y)$ opleveren en om die uitkomsten gelijk te krijgen moet gelden $g(y)=-\ln y+C$ en $h(x)=\ln x+C$, met $C$ een constante.
Combineren geeft
$$f(x,y)=x^4y^3 +\ln x -\ln y +C
$$
In plaats van combineren kun je ook $x^4y^3+\ln x+g(y)$ partieel naar $y$ differentiëren; daar moet dan $3x^4y^2-\frac1y$ uit komen, maar dat betekent dat $g'(y)=-\frac1y$, en dus $g(y)=-\ln y+C$.

kphart
donderdag 6 januari 2022

©2001-2024 WisFaq