WisFaq!

Re: Differentiaal van een functie met 2 veranderlijken

Hoe komt het dan dat de oplossing wel een som is?

En als ik beide integralen uitreken kom ik bij beide een term x⁴y³ uit in de oplossing...

Nvt
6-1-2022

Antwoord

De oplossing is geen som, maar een combinatie van beide primitieven
Als je beide integralen uitrekent krijg je als eerste
$$\int 4x^3y^3+\frac1x\,\mathrm{d}x = x^4y^3+\ln x+g(y)
$$Met $g$ een onbekende functie van $y$: de integratie constante is een functie van $y$ omdat je naar $x$ primitiveert, als je dat resultaat partieel naar $x$ differentieert verdwijnt die $g(y)$ weer. Evenzo
$$\int 3x^4y^2-\frac1y\,\mathrm{d}y = x^4y^3-\ln y + h(x)
$$met $h$ een onbekende functie van $x$.
Beide uitkomsten moeten ons $f(x,y)$ opleveren en om die uitkomsten gelijk te krijgen moet gelden $g(y)=-\ln y+C$ en $h(x)=\ln x+C$, met $C$ een constante.
Combineren geeft
$$f(x,y)=x^4y^3 +\ln x -\ln y +C
$$
In plaats van combineren kun je ook $x^4y^3+\ln x+g(y)$ partieel naar $y$ differentiëren; daar moet dan $3x^4y^2-\frac1y$ uit komen, maar dat betekent dat $g'(y)=-\frac1y$, en dus $g(y)=-\ln y+C$.

kphart
6-1-2022