Re: Deelbaarheid

Dit is een reactie op vraag 51174

Hallo Wisfaq,

Het is inderdaad zo dat refererend naar de regel van n boven k je inderdaad al een bewijs hebt, maar het zou toch ook moeten lukken om dit te bewijzen zonder gebruik te maken van deze regel.

Ik waag me alvast aan een poging :

Om te beginnen schrijven we (2n)! als een product van volgende factoren : (2n)! = 2n.(2n-1)...(n+1).n!
en dus (2n)!/(n!)² = 2n.(2n-1)...(n+1)/n!

Beschouw vervolgens de n factoren in de teller :

n+1, n+2, n+3, n+4, ..., 2n-3, 2n-2, 2n-1, 2n

Dit zijn n opeenvolgende natuurlijke getallen.

Hiervoor geldt er nu dat :

elke factor deelbaar is door 1
om de 2 factoren er een factor deelbaar is door 2,
om de 3 factoren er een factor deelbaar is door 3,
om de 4 factoren er een factor deelbaar is door 4,
...
om de n-3 factoren er een factor deelbaar is door n-3,
om de n-2 factoren er een factor deelbaar is door n-2,
om de n-1 factoren er een factor deelbaar is door n-1,
om de n factoren er een factor deelbaar is door n

m.a.w 2n.(2n-1)...(n+1) is deelbaar door
1.2.3.4....n-3.n-2.n-1.n = n!
of (2n)! is deelbaar door (n!)²

Lijkt u dat ergens aannemelijk als bewijs ?

Met dank,

Rudi

Rudi
Ouder - zondag 19 september 2021

Antwoord

Nee dit lijkt me geen goed bewijs. Je bewijst er wel mee dat (n+1)(n+2)(n+3) .... (2n) bijvoorbeeld deelbaar is door 3 en door door 9 en door 27 maar niet door 3·9·27.

Wat is dan wel het bewijs? Dat komt uit de combinatoriek.
Het aantal mogelijke combinaties van k elementen uit n is altijd geheel en te schrijven als (n boven k),
Nu is het aantal mogelijke combinaties van n elementen uit een totaal van 2n = (2n boven n) is dus ^(2n)!/_{(n!)·(2n-n)!} = ^(2n)!/_n!·n! en dat is dus geheel.

Volgens mij moet het dit zijn. En eigenlijk stond dit er dus ook al als antwoord. Je zou nog kunnen aanvoeren of (n boven k) dan altijd geheel is. Dat grijpt dan terug op de driehoek van pascal. Dat is dus wel de onderliggende aanname.

Met vriendelijke groet
JaDeX

maandag 20 september 2021

©2001-2024 WisFaq