Verjaardagenprobleem met combinaties

Een klassiek kansprobleem: het verjaardagenparadox.

Hoe groot is de kans dat in een groep van 23 personen er niemand op dezelfde dag jarig is?

Dit type vraag is al verschillende malen in deze categorie de revue gepasseerd:
https://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=7060
https://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=4030
https://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=4381
https://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=86126

Telkens ziet de berekening van het antwoord er ongeveer als volgt uit:
$ P\left(niemand\ zelfde\ dag\ jarig\right)=\ \frac{365}{365}\ast\ \frac{364}{365}\ast\ \frac{365}{365}\ldots\ast\frac{343}{365}=\ \frac{365!}{342!*{365}^{23}\ }\ =\frac{P_{365}^{23}}{{\bar{P}}_{365}^{23}}\ \approx49,27% $

Wanneer ik naar deze formule kijk, zou ik zeggen dat het probleem geherformuleerd kan worden als: "wanneer ik 23 personen op een rij zet en ze vervolgens 1 voor 1 naar hun verjaardag vraag, hoe groot is dan de kans dat, na het aan de 23e persoon gevraagd te hebben, er niemand dezelfde datum genoemd heeft?". In deze manier van formuleren zie ik duidelijk de permutatie die gebruikt werd in de formule.

Maar wanneer ik, zonder naar die formule te kijken, het probleem zou moeten herformuleren, zou ik zeggen: "wanneer ik een kalender op de grond teken en aan 23 personen vraag op het vakje met hun verjaardag te staan, hoe groot is dan de kans dat er op geen enkel vakje meer dan 1 persoon staat?". In formulevorm:
$ P(\le1\ persoon/vak)\ =\ \frac{aantal\ combinaties\ van\ 23\ uit\ 365\ zonder\ herhaling}{aantal\ combinaties\ van\ 23\ uit\ 365\ met\ herhaling}\ =\ \frac{C_{365}^{23}}{{\bar{C}}_{365}^{23}}\ =\ \frac{\binom{365}{23}}{\binom{365\ +\ 23\ -\ 1}{23}}\ \approx\ 24,98% $

Een significant verschil met de initiële 49,27% dus.
Waar zit de fout in mijn denkwijze?

Alvast bedankt en met vriendelijke groet
Laurens

Lauren
Student Hoger Onderwijs België - maandag 8 oktober 2018

Antwoord

Je gebruikt hier eigenlijk de formule van Laplace. Daarbij moeten alle mogelijkheden die je gebruikt dezelfde kans hebben. Als je met combinaties werkt is dat niet het geval. Je herformulering is wel correct, maar je moet meetellen dat je de 23 op hun gekozen plaatsen ook nog eens kunt permuteren. Dit kun je dan beter berekenen met permutaties, niet met combinaties.

Je kunt dit misschien eenvoudiger inzien als we het probleem wat eenvoudiger maken:stel dat het jaar uit drie dagen bestaat (1,2 en 3) en dat we 3 personen hebben. Dan zijn de mogelijkheden voor hun verjaardagen als volgt:

123 112 122 113 133 233 223 111 222 333
132 121 212 131 313 323 232
213 211 221 311 331 332 322
231
321
312

De variant waarbij er twee mensen op de eerste dag verjaren heeft hier minder kans dan de variant waarbij iedereen op een verschillende dag verjaart. Dat is logisch, want er verjaren twee mensen op de eerste dag, hun onderlinge verwisseling maakt niets uit. Maar als je de combinaties maakt, dan zie je meteen dat die variant evenveel meetelt als de variant waarbij mensen op een verschillende dag verjaren.

123 112 113 122 133 223 233 111 222 333

Met deze combinaties zou de kans dat iedereen op dezelfde dag verjaart bijvoorbeeld 30% zijn, maar dat is natuurlijk onmogelijk (zie je dat?). De kans dat iedereen op de eerste verjaart is 10% en exact even groot als de kans dat iedereen op een verschillende dag verjaart. Absurd, want we weten dat die kansen niet even groot zijn (uit de vorige tabel).
Om terug te grijpen op jouw kalender op de grond: bij het geval 123 kunnen alledrie de personen natuurlijk in een andere volgorde op de drie dagen gaan staan. Elk van die (zes) mogelijkheden heeft dezelfde kans als de mogelijkheid 111.

Maakt dit het iets duidelijker?

js2
maandag 8 oktober 2018

Re: Verjaardagenprobleem met combinaties

©2001-2024 WisFaq