Inductiebewijs met ongelijkheid

De vraag is als volgt:

Bewijs ∀n $\ge$ 5 : 2ⁿ $>$ n².

Ik ben tot zover gekomen:
Base case: 2⁵ = 32 $>$ 5² = 25 en dat klopt.
De inductiehypothese is: 2^k $>$ k², voor k $\ge$ 5
De inductiestap is: 2^k+1 $>$ (k+1)².

Ik ben gekomen tot het ontdekken dat 2^k · 2 $>$ 2k².

Daarna werd het hogere magie toen de docent zei dat we gebruik kunnen maken van het feit dat '(k-1)² $\ge$ 4² $>$ 2 omdat k $\ge$ 5'.
Dat zou ertoe leiden dat 2k² $>$ k² + 2k + 1 = (k+1)². Daarmee hebben we inderdaad de inductiestap waar gemaakt.

Ik weet dat ik het kan oplossen als ik weet dat ik gebruik moet maken van (k-1)² $\ge$ 4² $>$ 2, maar dit gegeven kwam opeens uit de lucht vallen en de docent zei dat ik het 'moest inzien'. Ik weet echter niet hoe iemand hier zomaar op zou kunnen komen en ik zou graag hulp willen (wellicht is er ook een alternatief bewijs dat misschien makkelijker te maken is?)

Hartelijk dank.

Jan

Jan
Student universiteit - woensdag 9 mei 2018

Antwoord

Het feit dat $(k-1)^2\ge 4^2$ kwam natuurlijk niet uit de lucht vallen want er was gegeven dat $k\ge5$. Dat je er iets mee kunt doen is ook niet verwonderlijk want het is een deel van het gegeven. Wat je er mee kunt doen hangt van inzicht af.

De manier waarop je zoiets gebruikt komt na wat proberen. In dit geval heb je al $2^{k+1} > k^2+k^2$ en ook $(k+1)^2=k^2+2k+1$. Als je nu kunt laten zien dat $k^2\ge 2k+1$ is ben je klaar. Trek ze van elkaar af: $k^2-2k-1$, daar kun je $k^2-2k+1-2=(k-1)^2-2$ van maken.

kphart
donderdag 10 mei 2018

Re: Inductiebewijs met ongelijkheid

©2001-2024 WisFaq