Substitutie toepassen bij integreren

Geachte heer,

Ik probeer van een opgave de primitieve te vinden nl.
de primitieve van x $\to$ sin³x.

Verder moet ik de substitutie methode toepassen, ik heb nl.
u = cos x gekozen.

Maar bij het uitwerken kom ik op iets heel anders.
Mijn berekening is als volgt :

x $\to$ sin³x
Stel u = cos x....

( cos³x ) ' = ¹/₄ · 4 · ( cos³x ) · -sin x
= - cos³x · sin x
= ( sin²x - 1 ) · sin x
= sin³x - sin x

Maar dit komt niet overeen met het eindantwoord van
x $\to$ sin³x, dus een gedifferentieerde functie van
y' = sin³x.

Kunt u me uitleggen waar ik in de mist ben gelopen bij mijn uitwerking ?

Bijvoorbaat dank ik u hartelijk voor uw medewerking,

Radjan.

Radjan
Ouder - dinsdag 13 maart 2018

Antwoord

Dag Radjan,
Tja, ik denk dat jou niet duidelijk is HOE je het probleem moet aanpakken.
Het is namelijk helemaal niet nodig om de afgeleide van ${\cos ^3}x$ te berekenen (wat er op die regels staat klopt al zo niet).
Je moet namelijk proberen om ${\sin ^3}x$ te schrijven als een functie van $u = \cos x$ c.q. met $u$.
En daarbij mag je ook de afgeleide $u' = du$ gebruiken.

Dus $-$ en ik schrijf $P$ voor 'een primitieve van':

$P({\sin ^3}x) = P({\sin ^2}x\, \cdot \,\sin x) = P(\;(1 - {\cos ^2}x)\, \cdot \,d( - \cos x)\;) = P( - (1 - {u^2})du)$

Immers, de afgeleide (de '$d$') van $-\cos x$ is gelijk aan $\sin x$.
Zodat je op zoek bent naar de primitieve van een functie van $u$:

$P( - (1 - {u^2})) = P({u^2} - 1) = {\textstyle{1 \over 3}}{u^3} - u$

En dan is een primitieve van ${\sin ^3}x$ omdat $u = \cos x$:

${\textstyle{1 \over 3}}{\cos ^3}x - \cos x$

dinsdag 13 maart 2018

©2001-2024 WisFaq