WisFaq!

Substitutie toepassen bij integreren

Geachte heer,

Ik probeer van een opgave de primitieve te vinden nl.
de primitieve van x $\to$ sin³x.

Verder moet ik de substitutie methode toepassen, ik heb nl.
u = cos x gekozen.

Maar bij het uitwerken kom ik op iets heel anders.
Mijn berekening is als volgt :

x $\to$ sin³x
Stel u = cos x....

( cos³x ) ' = ¹/₄ · 4 · ( cos³x ) · -sin x
= - cos³x · sin x
= ( sin²x - 1 ) · sin x
= sin³x - sin x

Maar dit komt niet overeen met het eindantwoord van
x $\to$ sin³x, dus een gedifferentieerde functie van
y' = sin³x.

Kunt u me uitleggen waar ik in de mist ben gelopen bij mijn uitwerking ?

Bijvoorbaat dank ik u hartelijk voor uw medewerking,

Radjan.

Radjan
13-3-2018

Antwoord

Dag Radjan,
Tja, ik denk dat jou niet duidelijk is HOE je het probleem moet aanpakken.
Het is namelijk helemaal niet nodig om de afgeleide van ${\cos ^3}x$ te berekenen (wat er op die regels staat klopt al zo niet).
Je moet namelijk proberen om ${\sin ^3}x$ te schrijven als een functie van $u = \cos x$ c.q. met $u$.
En daarbij mag je ook de afgeleide $u' = du$ gebruiken.

Dus $-$ en ik schrijf $P$ voor 'een primitieve van':

$P({\sin ^3}x) = P({\sin ^2}x\, \cdot \,\sin x) = P(\;(1 - {\cos ^2}x)\, \cdot \,d( - \cos x)\;) = P( - (1 - {u^2})du)$

Immers, de afgeleide (de '$d$') van $-\cos x$ is gelijk aan $\sin x$.
Zodat je op zoek bent naar de primitieve van een functie van $u$:

$P( - (1 - {u^2})) = P({u^2} - 1) = {\textstyle{1 \over 3}}{u^3} - u$

En dan is een primitieve van ${\sin ^3}x$ omdat $u = \cos x$:

${\textstyle{1 \over 3}}{\cos ^3}x - \cos x$

dk
13-3-2018