Cosinus of sinus met elkaar vermenigvuldigen
Geachte heer,
Graag zou ik willen weten hoe ik bijv.cos x met cos 2x moet vermenigvuldigen of cos x met cos (1/2 - x ), ook hetzelfde met sin x maal sin (2x - 1/2 )...want bij het oefenen kom ik vaak hierop...
ik moet nl.
f(x) = 2sin2x -2√3·sinx·cosx-3 opschrijven in de uiteindelijke vorm f(x) = 2cos(2x+2/3·$\pi$) -2
Bij voorbaat dank ik u hartelijk voor uw hulp
Radjan
Ouder - vrijdag 20 oktober 2017
Antwoord
Hallo Radjan,
Op vele plaatsen op internet vind je overzichten van goniometrische gelijkheden, bijvoorbeeld op Wikipedia: Lijst van goniometrische gelijkheden. In deze lijst vind je:
sin2(x) = 1/2(1-cos(2x)
sin(x)·cos(y) = 1/2(sin(x-y)+sin(x+y))
Toegepast op jouw functie levert dit:
f(x) = 1-cos(2x) -√3(sin(x-x)+sin(x+x)) -3
f(x) = -{cos(2x)+√3(sin(2x)} -2
Het deel tussen accolades heeft de vorm:
a·cos(2x) + b·sin(2x)
Dit kan geschreven worden als:
R·cos(2x-$\alpha$)
met: R = √(a2+b2) en tan($\alpha$)=b/a
(Voor afleiding van dit verband: zie bv dit document van Mathcentre).
In jouw geval geldt:
a=1 en b=√3
dus:
R=√(1+3)=2 en
tan($\alpha$)=√3, dus $\alpha$=1/3$\pi$
Zo vinden we:
f(x) = -2cos(2x-1/3$\pi$)-2
Tot slot: in de eenheidscirkel (of met behulp van de formules) zie je dat:
-cos(A) = cos(A+$\pi$)
dus kan je de functie ook noteren als:
f(x) = 2cos(2x+2/3$\pi$)-2
Je ziet: het is voortdurend combineren van de formules om van de ene vorm naar de andere vorm te komen.
zaterdag 21 oktober 2017
©2001-2024 WisFaq
|