WisFaq!

Cosinus of sinus met elkaar vermenigvuldigen

Geachte heer,

Graag zou ik willen weten hoe ik bijv.cos x met cos 2x moet vermenigvuldigen of cos x met cos (¹/₂ - x ), ook hetzelfde met sin x maal sin (2x - ¹/₂ )...want bij het oefenen kom ik vaak hierop...

ik moet nl.
f(x) = 2sin²x -2√3·sinx·cosx-3 opschrijven in de uiteindelijke vorm f(x) = 2cos(2x+2/3·$\pi$) -2

Bij voorbaat dank ik u hartelijk voor uw hulp

Radjan
20-10-2017

Antwoord

Hallo Radjan,

Op vele plaatsen op internet vind je overzichten van goniometrische gelijkheden, bijvoorbeeld op Wikipedia: Lijst van goniometrische gelijkheden. In deze lijst vind je:

sin²(x) = ¹/₂(1-cos(2x)

sin(x)·cos(y) = ¹/₂(sin(x-y)+sin(x+y))

Toegepast op jouw functie levert dit:

f(x) = 1-cos(2x) -√3(sin(x-x)+sin(x+x)) -3
f(x) = -{cos(2x)+√3(sin(2x)} -2

Het deel tussen accolades heeft de vorm:

a·cos(2x) + b·sin(2x)

Dit kan geschreven worden als:

R·cos(2x-$\alpha$)

met: R = √(a²+b²) en tan($\alpha$)=^b/_a

(Voor afleiding van dit verband: zie bv dit document van Mathcentre).

In jouw geval geldt:

a=1 en b=√3

dus:
R=√(1+3)=2 en
tan($\alpha$)=√3, dus $\alpha$=¹/₃$\pi$

Zo vinden we:

f(x) = -2cos(2x-¹/₃$\pi$)-2

Tot slot: in de eenheidscirkel (of met behulp van de formules) zie je dat:

-cos(A) = cos(A+$\pi$)

dus kan je de functie ook noteren als:

f(x) = 2cos(2x+²/₃$\pi$)-2

Je ziet: het is voortdurend combineren van de formules om van de ene vorm naar de andere vorm te komen.

GHvD
21-10-2017