Markov-ongelijkheid

Hallo

De volgende vraag komt uit de oefeningenbundel statistiek:

Welke van de onderstaande uitspraken kan worden afgeleid uit de Markov-ongelijkheid?
Hint: Zet ongelijkheden zoals X ≥ α in X om in equivalente ongelijkheden met exp(...X)
.
A Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie
M en een willekeurige reële α geldt dat P(X ≥ α) ≤ M(|t|)e
−|t|α voor
alle t waarvoor |t| tot het definitiegebied van M behoort.
B Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie M en een
willekeurige reële α geldt dat P(X ≥ α) ≤ 1−M(|t|)e
−|t|α voor alle t waarvoor
|t| tot het definitiegebied van M behoort.
C Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie M en
een willekeurige reële α geldt dat P(X ≤ α) ≥ M(t)e
−tα voor alle t in het
definitiegebied van M.
D Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie M en
een willekeurige reële α geldt dat P(X ≥ α) ≤ 1− M(t)e
−tα voor alle t in het
definitiegebied van M.
E geen van de bovenstaande


Ik weet niet goed hoe ik aan deze vraag moet beginnen. Ik raak al in de knoei bij de tip. Dankuwel!

Jana
Student universiteit - zondag 9 juli 2017

Antwoord

Ik zou zeggen: zoek op wat de Markov-ongelijkheid zegt:

P(h(X)\ge a)\le \frac{\mathbb{E}(h(X))}{a}

Hierbij is h een niet-negatieve functie.
Zoek op wat de momentenfunctie is:

M(t)=\mathbb{E}(\mathrm{e}^{tX})

Je zou dus kunnen denken aan de functie h(X)=\mathrm{e}^{tX} en kijken wat het verband is tussen P(X\ge a) en P(\mathrm{e}^{tX}\ge \mathrm{e}^{ta}) (die kansen zijn gelijk als t > 0, maar niet als t\le 0).
Met h(X)=\mathrm{e}^{|t|X} zijn de kansen altijd gelijk, behalve bij t=0 (want P(\mathrm{e}^{0X}\ge \mathrm{e}^0)=1).

Vul nu maar in, je krijgt mogelijkheid A, ook voor t=0 omdat P(X\ge a)\le1.

kphart
maandag 10 juli 2017

©2001-2025 WisFaq