WisFaq!

Markov-ongelijkheid

Hallo

De volgende vraag komt uit de oefeningenbundel statistiek:

Welke van de onderstaande uitspraken kan worden afgeleid uit de Markov-ongelijkheid?
Hint: Zet ongelijkheden zoals X ≥ α in X om in equivalente ongelijkheden met exp(...X)
.
A Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie
M en een willekeurige reële α geldt dat P(X ≥ α) ≤ M(|t|)e
−|t|α voor
alle t waarvoor |t| tot het definitiegebied van M behoort.
B Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie M en een
willekeurige reële α geldt dat P(X ≥ α) ≤ 1−M(|t|)e
−|t|α voor alle t waarvoor
|t| tot het definitiegebied van M behoort.
C Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie M en
een willekeurige reële α geldt dat P(X ≤ α) ≥ M(t)e
−tα voor alle t in het
definitiegebied van M.
D Voor een willekeurige toevallige veranderlijke X met momentenfunctie M en
een willekeurige reële α geldt dat P(X ≥ α) ≤ 1− M(t)e
−tα voor alle t in het
definitiegebied van M.
E geen van de bovenstaande


Ik weet niet goed hoe ik aan deze vraag moet beginnen. Ik raak al in de knoei bij de tip. Dankuwel!

Jana
9-7-2017

Antwoord

Ik zou zeggen: zoek op wat de Markov-ongelijkheid zegt:
$$
P(h(X)\ge a)\le \frac{\mathbb{E}(h(X))}{a}
$$
Hierbij is $h$ een niet-negatieve functie.
Zoek op wat de momentenfunctie is:
$$
M(t)=\mathbb{E}(\mathrm{e}^{tX})
$$
Je zou dus kunnen denken aan de functie $h(X)=\mathrm{e}^{tX}$ en kijken wat het verband is tussen $P(X\ge a)$ en $P(\mathrm{e}^{tX}\ge \mathrm{e}^{ta})$ (die kansen zijn gelijk als $t $>$ 0$, maar niet als $t\le 0$).
Met $h(X)=\mathrm{e}^{|t|X}$ zijn de kansen altijd gelijk, behalve bij $t=0$ (want $P(\mathrm{e}^{0X}\ge \mathrm{e}^0)=1$).

Vul nu maar in, je krijgt mogelijkheid A, ook voor $t=0$ omdat $P(X\ge a)\le1$.

kphart
10-7-2017