Integraal
Een ogenschijnlijk simpele integraal als sqrt(a4-u2) du geeft als antwoord:
u/2·sqrt(a4-u2) + a4/2·arcsin(u/a2).
Ik heb de integraal gelijkgesteld aan cos2 theta d(theta) met theta=arcsin(c/a) met c=sqrt(a2-b2). Maar het antwoord komt niet met bovenstaande overeen. Waar zie ik iets over het hoofd?
Gr
Herman
Ouder - zondag 7 mei 2017
Antwoord
Er gaat van alles mis: waar is $u$ gebleven? Wat is $b$? En je haalt zo te zien de sinus en cosinus door elkaar.
Teken een rechthoekige driehoek met hypothenuse $a^2$ en zijden $u$ (verticaal) en $\sqrt{a^4-u^2}$ (horizontaal).
Voor de hoek $\theta$ tussen de hypothenusa en de horizintale zijde geldt nu $\sin\theta=u/a^2$ en $\cos\theta=\sqrt{a^4-u^2}/a^2. Ofwel: $u=a^2\sin\theta$ en $\sqrt{a^4-u^2}=a^2\cos\theta$. Gevolg: je integraal wordt
$$
\int a^2\cos\theta\,\mathrm{d}(a^2\sin\theta)
$$
en dat leidt tot $a^4\int\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta$.
Als je die hebt uitgewerkt weer zorgvuldig invullen wat $\cos\theta$ en $\sin\theta$ zijn.
kphart
maandag 8 mei 2017
©2001-2024 WisFaq
|